Вернуться к содержанию учебника
Геометрическая прогрессия \((x_n)\) состоит из четырёх членов: \(2,\ a,\ b,\ \dfrac14\). Найдите \(a\) и \(b\).
\(2,\ a,\ b,\ \dfrac14\) - геометрическая прогрессия.
\(x_1 = 2,\ x_4 = \dfrac14\)
\(x_n=x_1q^{n-1}\)
\(x_4 = x_1\cdot q^{3}\)
\(q^3=\frac{x_4}{x_1}=\frac14:2=\frac18\)
\(q = \dfrac12\).
\(a = x_2 =x_1q= 2\cdot\dfrac12 = 1\).
\(b = x_3 =x_1q^2= 2\cdot\dfrac14 = \dfrac12\).
Ответ: \(a = 1;\) \(b =\dfrac12\).
Пояснения:
Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число \(q\), называемое знаменателем прогрессии.
Формула \(n\)-го члена геометрической прогрессии:
\[ x_n = x_1 \cdot q^{\,n-1}. \]
В задаче известно, что прогрессия состоит из четырёх членов, поэтому последний член выражается формулой:
\[ x_4 = x_1 \cdot q^3. \]
Подставляя известные значения \(x_1 = 2\) и \(x_4 = \dfrac14\), получаем уравнение для нахождения знаменателя прогрессии. После нахождения \(q\) последовательно вычисляются второй и третий члены прогрессии:
\[ a = x_2 = x_1\cdot q,\quad b = x_3 = x_2\cdot q. \]
Таким образом, значения неизвестных членов равны \(a = 1\) и \(b = \dfrac12\).
Вернуться к содержанию учебника