Упражнение 596 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(b_6 = 3,\ q = 3\);

\(b_6 = b_1\cdot q^{6-1}\).

\(b_1 =\frac{b_6}{q^5}= \dfrac{3}{3^5} = \dfrac{1}{3^4}= \dfrac{1}{81}\).

Ответ: \(b_1= \dfrac{1}{81}\).

б) \(b_5 = 17\dfrac12,\ q = -2\dfrac12\).

\(b_5 = b_1\cdot q^{5-1}\).

\(b_1 =\frac{b_5}{q^4}=\frac{17\frac{1}{2}}{(-2\frac{1}{2})^4}=\)

\(=\dfrac{35}{2}:\biggl(-\dfrac{5}{2}\biggr)^4=\dfrac{35}{2}:\dfrac{625}{16}=\)

\(=\dfrac{35}{2}\cdot\dfrac{16}{625} =\frac{\cancel{35}{\color{red}{^7}}\cdot\cancel{16}{\color{blue}{^8}}}{\cancel2_{\color{blue}{1}}\cdot \cancel{625}_{\color{red}{125}}} = \dfrac{56}{125}\).

Ответ: \(b_1= \dfrac{56}{125}\).

Пояснения:

Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число \(q\), называемое знаменателем прогрессии.

Формула \(n\)-го члена геометрической прогрессии:

\[ b_n = b_1 \cdot q^{\,n-1}. \]

Чтобы найти первый член прогрессии, нужно выразить \(b_1\) из этой формулы:

\[ b_1 = \dfrac{b_n}{q^{\,n-1}}. \]

В пункте а) подставляется \(n=6\) и значение знаменателя \(q=3\).

В пункте б) сначала смешанные числа переводятся в неправильные дроби, затем возводится знаменатель прогрессии в четвёртую степень и выполняется деление, что позволяет найти значение первого члена прогрессии.

Дано: \(a^2,\ b^2,\ c^2\) — последовательные члены арифметической прогрессии.

Доказать: \(\dfrac{1}{b+c},\ \dfrac{1}{a+c},\ \dfrac{1}{a+b}\) являются последовательными членами арифметической прогрессии.

Доказательство:

1) Пусть \(d\) разность арифметической прогрессии с членами \(a^2,\ b^2,\ c^2\), тогда

\(b^2-a^2=c^2-b^2 = d\).

2) \(\dfrac{1}{a+c} ^{\color{blue}{\backslash b+c}} -\dfrac{1}{b+c} ^{\color{blue}{\backslash a+c}} =\)

\(=\dfrac{(b+c)-(a+c)}{(a+c)(b+c)}=\)

\(=\dfrac{b+c-a-c}{(a+c)(b+c)}=\)

\(=\dfrac{b-a}{(a+c)(b+c)} ^{\color{blue}{\backslash b+a}} =\)

\(=\dfrac{(b-a)(b+a)}{(a+c)(b+c)(b+a)} =\)

\(=\dfrac{b^2-a^2}{(a+c)(b+c)(b+a)}=\)

\(=\dfrac{d}{(a+c)(b+c)(a+b)}.\)

3) \(\dfrac{1}{a+b} ^{\color{blue}{\backslash a+c}} -\dfrac{1}{a+c} ^{\color{blue}{\backslash a+b}} =\)

\(=\dfrac{(a+c)-(a+b)}{(a+b)(a+c)}=\)

\(=\dfrac{a+c-a+b}{(a+b)(a+c)}=\)

\(=\dfrac{c-b}{(a+b)(a+c)} ^{\color{blue}{\backslash c+b}}= \)

\(=\dfrac{(c-b)(c + b)}{(a+b)(a+c)(c + b)}= \)

\(=\dfrac{c^2-b^2}{(a+b)(a+c)(b+c)}= \)

\(=\dfrac{d}{(a+c)(b+c)(a+b)}.\)

4) Получаем:

\(\dfrac{1}{a+c} -\dfrac{1}{b+c} =\dfrac{1}{a+b} -\dfrac{1}{a+c}\)

Следовательно, \(\dfrac{1}{b+c},\ \dfrac{1}{a+c},\ \dfrac{1}{a+b}\) являются последовательными членами арифметической прогрессии.

Что и требовалось доказать.

Пояснения:

Если три числа идут подряд в арифметической прогрессии, то разности соседних членов равны. Для квадратов это означает:

\[b^2-a^2=c^2-b^2.\]

Чтобы показать, что три другие величины тоже идут подряд в арифметической прогрессии, нужно доказать равенство разностей соседних членов:

\(\dfrac{1}{a+c} -\dfrac{1}{b+c} =\dfrac{1}{a+b} -\dfrac{1}{a+c}\).