Вернуться к содержанию учебника
Последовательность \((b_n)\) — геометрическая прогрессия. Найдите:
а) \(b_6\), если \(b_1 = 125,\ b_3 = 5\);
б) \(b_7\), если \(b_1 = -\dfrac{2}{9},\ b_3 = -2\);
в) \(b_1\), если \(b_4 = -1,\ b_6 = -100\).
Введите текст
а) \(b_3 = b_1\cdot q^{3-1}\).
\(5 = 125\cdot q^2\).
\(q^2 = \dfrac{5}{125} = \dfrac{1}{25}\).
\(q = \dfrac{1}{5}\) или \(q = -\dfrac{1}{5}\).
\(b_6 = 125\cdot q^{6-1} = 125\cdot q^5\).
\(b_6 = 125\cdot\left(\dfrac{1}{5}\right)^5 = \dfrac{1}{25}\);
\(b_6 = 125\cdot\left(-\dfrac{1}{5}\right)^5 = -\dfrac{1}{25}\).
б) \(b_3 = b_1\cdot q^{3-1}\).
\(-2 = -\dfrac{2}{9}\cdot q^2\).
\(q^2 = 9\).
\(q = 3\) или \(q = -3\).
\(b_7 = -\dfrac{2}{9}\cdot q^{7-1} = -\dfrac{2}{9}\cdot q^6\).
\(b_7 = -\dfrac{2}{9}\cdot3^6 = -162;\)
\(b_7 = -\dfrac{2}{9}\cdot(-3)^6 = -162.\)
в) \(b_6 = b_4\cdot q^{6-4}\).
\(-100 = -1\cdot q^2\).
\(q^2 = 100\).
\(q = 10\) или \(q = -10\).
\(b_4 = b_1\cdot q^{4-1}\).
\(-1 = b_1\cdot q^3\).
\(b_1 = \dfrac{-1}{q^3}\).
\(b_1 = \dfrac{-1}{10^3} = -\dfrac{1}{1000};\)
\(b_1 = \dfrac{-1}{(-10)^3} = \dfrac{1}{1000}.\)
Пояснения:
Геометрическая прогрессия — это последовательность, в которой каждый следующий член получается умножением предыдущего на одно и то же число \(q\), называемое знаменателем прогрессии.
Основная формула геометрической прогрессии:
\[ b_n = b_1 \cdot q^{\,n-1}. \]
Если известны два члена прогрессии \(b_m\) и \(b_n\), то используется формула:
\[ b_n = b_m \cdot q^{\,n-m}. \]
В пунктах а) и б) сначала находится \(q^2\), так как разность номеров известных членов равна 2. После этого учитываются оба возможных значения знаменателя.
В пункте в) сначала находится знаменатель по двум известным членам, затем используется формула для четвёртого члена, из которой выражается первый член прогрессии. Для каждого возможного значения \(q\) получается своё значение \(b_1\).
Вернуться к содержанию учебника