Упражнение 165 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \( (x - 1)^2 + (x + 1)^2 = (x + 2)^2 - 2x + 2 \)

\( (x^2 - 2x + 1) + (x^2 + 2x + 1) =\)

\(=(x^2 + 4x + 4) - 2x + 2 \)

\( 2x^2 + 2 = x^2 + 2x + 6 \)

\( 2x^2 - x^2 - 2x + 2 - 6 = 0 \)

\( x^2 - 2x - 4 = 0 \)

\( D = b^2-4ac=\)

\(=(-2)^2 - 4\cdot 1 \cdot (-4) =\)

\(= 4 + 16 = 20, \) \(\sqrt{D}=2\sqrt5\)

\( x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\)

\( x = \frac{2 + 2\sqrt{5}}{2} = 1+ \sqrt{5} \)

\( x = \frac{2 - 2\sqrt{5}}{2} = 1- \sqrt{5} \)

Ответ: \(x = 1 + \sqrt{5}\), \(x = 1 - \sqrt{5}\).

б) \( (2x - 3)(2x + 3) - 1 = 5x + (x - 2)^2 \)

\( 4x^2 - 9 - 1 = 5x + (x^2 - 4x + 4) \)

\(4x^2 - 10 = 5x + x^2 - 4x + 4 \)

\( 4x^2 - 10 - 5x - x^2 + 4x - 4 = 0 \)

\( 3x^2 - x - 14 = 0 \)

\( D = b^2-4ac=\)

\(= (-1)^2 - 4\cdot 3 \cdot (-14) =\)

\(=1 + 168 = 169, \) \(\sqrt{D}=13\)

\( x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\)

\( x_1 = \frac{1+ 13}{6} = \frac{14}{6} = \frac{7}{3}=2\frac13\)

\( x_1 = \frac{1- 13}{6} = -\frac{12}{6} =-2\)

Ответ: \(x_1 =2 \frac{1}{3}\), \(x_2 = -2\).

Пояснения:

1. Формулы:

Квадрат суммы двух выражений

\( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)

Квадрат разности двух выражений

\((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)

Разность квадратов двух выражений

\(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\)

2. Уравнение сводится к квадратному, корни которого находим по следующей формуле:

\( x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\), где \( D = b^2-4ac\)

\( y = \sqrt[3]{x} \)

1) \(A(8; 2)\) - принадлежит.

\( 2=\sqrt[3]{8} \)

\( 2=\sqrt[3]{2^3} \)

\( 2=2 \) - верно.

2) \(B(216; 6)\) - принадлежит.

\( 6=\sqrt[3]{216} \)

\( 6=\sqrt[3]{6^3} \)

\( 6=6 \) - верно.

3) \(C(27; -3)\) - не принадлежит.

\( -3=\sqrt[3]{27} \)

\( -3=\sqrt[3]{3^3} \)

\( -3 = 3 \) - неверно.

4) \(D(-125; -5)\) - принадлежит.

\( -5=\sqrt[3]{-125} \)

\( -5=-\sqrt[3]{125} \)

\( -5=-\sqrt[3]{5^3} \)

\( -5=-5 \) - верно.

Пояснения:

Функция \( y=\sqrt[3]{x} \) — это кубический корень.

Определение:

\[ y=\sqrt[3]{x} \quad \Leftrightarrow \quad y^3=x \]

В отличие от корня чётной степени, кубический корень определён для всех чисел:

\[ x \in \mathbb{R} \]

Также он может принимать как положительные, так и отрицательные значения.

Чтобы проверить принадлежит ли точка графику функции, нужно подставить в уравнение функции вместо \(x\) и \(y\) координаты точки и выполнить вычисления, если получится верное числовое равенство, то точки принадлежит графику функции, если - неверное, либо выражение, не имеющее смысла, то точка графику не принадлежит.