Упражнение 161 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 60

а)

Из графика видно, что парабола ветвями вниз. Значит \(a < 0\). Вершина находится примерно в точке \((0; 3)\). Также видно, что при \(x = 1\) значение функции около 2.

Запишем: \[ y = ax^{2} + bx + c. \] Используем точки: \((0; 3)\), \((1; 2)\), \((-1; 2)\).

\[ c = 3, \] \[ a + b + 3 = 2, \] \[ a - b + 3 = 2. \]

Решаем систему:

\[ a + b = -1, \] \[ a - b = -1. \]

Складываем:

\[ 2a = -2,\quad a = -1. \]

Тогда:

\[ -1 + b = -1,\quad b = 0. \]

Ответ: \(a = -1,\; b = 0,\; c = 3.\)

б)

Ветви вверх → \(a > 0\). Вершина около \((1; -3)\). Берём точки \((1; -3)\), \((0; -2)\), \((2; -2)\).

\[ y = ax^{2} + bx + c. \]

\[ c = -2, \] \[ a + b - 2 = -3, \] \[ 4a + 2b - 2 = -2. \]

Получаем систему:

\[ a + b = -1, \] \[ 4a + 2b = 0. \]

Второе разделим на 2:

\[ 2a + b = 0. \]

Вычтем первое:

\[ (2a + b) - (a + b) = 0 - (-1), \] \[ a = 1. \]

Тогда:

\[ 1 + b = -1 \Rightarrow b = -2. \]

Ответ: \(a = 1,\; b = -2,\; c = -2.\)

в)

Ветви вверх, вершина около \((-2; -2)\). Подставим точки: \((-2; -2)\), \((-1; 0)\), \((-3; 0)\).

\[ y = ax^{2} + bx + c. \]

Подставляем:

\[ 4a - 2b + c = -2, \] \[ a - b + c = 0, \] \[ 9a - 3b + c = 0. \]

Вычтем второе из третьего:

\[ 8a - 2b = 0,\quad 4a - b = 0,\quad b = 4a. \]

Теперь второе уравнение:

\[ a - 4a + c = 0,\quad c = 3a. \]

Первое:

\[ 4a - 2(4a) + 3a = -2, \] \[ 4a - 8a + 3a = -2, \] \[ - a = -2,\quad a = 2. \]

\[ b = 4a = 8, \quad c = 3a = 6. \]

Ответ: \(a = 2,\; b = 8,\; c = 6.\)

г)

Ветви вниз → \(a < 0\). Вершина около \((1; 3)\). Используем точки \((1; 3)\), \((0; 2)\), \((2; 2)\).

\[ c = 2, \] \[ a + b + 2 = 3 \Rightarrow a + b = 1, \] \[ 4a + 2b + 2 = 2 \Rightarrow 4a + 2b = 0 \Rightarrow 2a + b = 0. \]

Решаем:

\[ a + b = 1, \] \[ 2a + b = 0. \]

Вычтем первое из второго:

\[ a = -1. \]

Тогда:

\[ -1 + b = 1 \Rightarrow b = 2. \]

Ответ: \(a = -1,\; b = 2,\; c = 2.\)

Пояснения:

1. Координаты вершины параболы позволяют определить форму уравнения. 2. Используя вид \(y = ax^{2} + bx + c\), подставляем точки, видимые на графике. 3. Решая полученные системы, находим коэффициенты.