Вернуться к содержанию учебника
Функции, графики которых изображены на рисунке 35, задаются уравнениями вида \(y = ax^{2} + bx + c\). Найдите значения коэффициентов \(a\), \(b\) и \(c\) в каждом случае.
Вспомните:
а) \(y = ax^{2} + bx + c\)
Вершина \((0; 5)\):
\(m=-\frac{b}{2a}⇒0=-\frac{b}{2a}\)
\(⇒b=0\)
\(n=-5\)
Подставим координаты точки \((5; -1):\)
\(5 = a\cdot0^{2} + с\)
\(c=5.\)
Подставим координаты точки \((5; 0):\)
\(0 = a\cdot5^{2}+ 5\)
\(0 = 25a+ 5\)
\(-25a=5\)
\(a=-\frac{5}{25}\)
\(a=-\frac{1}{5}.\)
Ответ: \(a=-\frac{1}{5}; b=0; c=5.\)
б) \(y = ax^{2} + bx + c\)
Подставим координаты точки \((0; -3):\)
\(-3 = a\cdot0^{2} + b\cdot0 + c\)
\(c=-3.\)
Вершина \((2; -5)\):
\(m=-\frac{b}{2a}⇒2=-\frac{b}{2a}\)
\(⇒b=-4a\)
\(n=-\frac{b^2-4ac}{4a}\)
\(-5=-\frac{(-4a)^2-4a\cdot(-3)}{4a}\) \(|a\ne0\)
\(20a=16a^2+12a\)
\(16a^2+12a-20a=0\)
\(16a^2-8a=0\)
\(8a(2a-1)=0\)
т.к. \(a\ne0\), то \(2a-1=0\)
\(2a=1\)
\(a=0,5.\)
\(b=-4a=-4\cdot0,5=-2.\)
Ответ: \(a = 0,5; b = -2,\; c = -3.\)
в) \(y = ax^{2} + bx + c\)
Вершина \((-3; 0)\):
\(m=-\frac{b}{2a}⇒-3=-\frac{b}{2a}\)
\(⇒b=6a.\)
Подставим координаты точки \((-2; 2):\)
\(2 = a\cdot(-2)^{2} + b\cdot(-2) + c\)
\(2 = 4a- 2b+ c\)
\(2 = 4a- 2(6a)+ c\)
\(2 = 4a- 12a+ c\)
\(2 = -8a+ c\)
\(c=8a+2\)
Подставим координаты точки \((-1; 8):\)
\(5 = a\cdot(-1)^{2} + b\cdot(-1) + c\)
\(8 = a - b + c\)
\(8 = a - 6a + 8a+2\)
\(3a=6\)
\(a=2.\)
Тогда:
\(b=6a=6\cdot2=12;\)
\(c=8a+2=8\cdot2+2=18.\)
Ответ: \(a = 2,\; b = 12,\; c = 18.\)
г) \(y = ax^{2} + bx + c\)
Вершина \((-2; 5)\):
\(m=-\frac{b}{2a}⇒-2=-\frac{b}{2a}\)
\(⇒b=4a.\)
Подставим координаты точки \((0; 3):\)
\(3 = a\cdot0^{2} + b\cdot0 + c\)
\(c=3.\)
Подставим координаты точки \((-3; 4,5):\)
\(y = ax^{2} +4ax + 3\)
\(4,5 = a\cdot(-3)^{2} +4a\cdot(-3) + 3\)
\(4,5 = 9a -12a+ 3\)
\(3a=-4,5+3\)
\(3a=-1,5\)
\(a=-0,5\)
\(b=4a=4\cdot(-0,5)=-2.\)
Ответ: \(a = -0,5; b = -2; c = 3.\)
Пояснения:
Формула вершины параболы \((m; n)\):
\[ m = -\frac{b}{2a},\qquad n = f(m). \]
Это справедливо для любой функции вида \( y = ax^2 + bx + c\)
Найдя координаты вершины параболы по графику, подставляем абсциссу в данное равенство \(m = -\frac{b}{2a}\) и находим соотношение \(a\) и \(b.\)
Далее определяем координаты еще пары точек, которые принадлежат графику, подставив их в уравнение \( y = ax^2 + bx + c,\) находим значение коэффициентов.
Вернуться к содержанию учебника