Упражнение 161 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(y = ax^{2} + bx + c\)

Вершина \((0; 5)\):

\(m=-\frac{b}{2a}⇒0=-\frac{b}{2a}\)

\(⇒b=0\)

\(n=-5\)

Подставим координаты точки \((5; -1):\)

\(5 = a\cdot0^{2} + с\)

\(c=5.\)

Подставим координаты точки \((5; 0):\)

\(0 = a\cdot5^{2}+ 5\)

\(0 = 25a+ 5\)

\(-25a=5\)

\(a=-\frac{5}{25}\)

\(a=-\frac{1}{5}.\)

Ответ:  \(a=-\frac{1}{5}; b=0; c=5.\)

б)  \(y = ax^{2} + bx + c\)

Подставим координаты точки \((0; -3):\)

\(-3 = a\cdot0^{2} + b\cdot0 + c\)

\(c=-3.\)

Вершина \((2; -5)\):

\(m=-\frac{b}{2a}⇒2=-\frac{b}{2a}\)

\(⇒b=-4a\)

\(n=-\frac{b^2-4ac}{4a}\)

\(-5=-\frac{(-4a)^2-4a\cdot(-3)}{4a}\)  \(|a\ne0\)

\(20a=16a^2+12a\)

\(16a^2+12a-20a=0\)

\(16a^2-8a=0\)

\(8a(2a-1)=0\)

т.к. \(a\ne0\), то \(2a-1=0\)

\(2a=1\)

\(a=0,5.\)

\(b=-4a=-4\cdot0,5=-2.\)

Ответ: \(a = 0,5; b = -2,\; c = -3.\)

в) \(y = ax^{2} + bx + c\)

Вершина \((-3; 0)\):

\(m=-\frac{b}{2a}⇒-3=-\frac{b}{2a}\)

\(⇒b=6a.\)

Подставим координаты точки \((-2; 2):\)

\(2 = a\cdot(-2)^{2} + b\cdot(-2) + c\)

\(2 = 4a- 2b+ c\)

\(2 = 4a- 2(6a)+ c\)

\(2 = 4a- 12a+ c\)

\(2 = -8a+ c\)

\(c=8a+2\)

Подставим координаты точки \((-1; 8):\)

\(5 = a\cdot(-1)^{2} + b\cdot(-1) + c\)

\(8 = a - b + c\)

\(8 = a - 6a + 8a+2\)

\(3a=6\)

\(a=2.\)

Тогда: 

\(b=6a=6\cdot2=12;\)

\(c=8a+2=8\cdot2+2=18.\)

Ответ: \(a = 2,\; b = 12,\; c = 18.\)

г) \(y = ax^{2} + bx + c\)

Вершина \((-2; 5)\):

\(m=-\frac{b}{2a}⇒-2=-\frac{b}{2a}\)

\(⇒b=4a.\)

Подставим координаты точки \((0; 3):\)

\(3 = a\cdot0^{2} + b\cdot0 + c\)

\(c=3.\)

Подставим координаты точки \((-3; 4,5):\)

\(y = ax^{2} +4ax + 3\)

\(4,5 = a\cdot(-3)^{2} +4a\cdot(-3) + 3\)

\(4,5 = 9a -12a+ 3\)

\(3a=-4,5+3\)

\(3a=-1,5\)

\(a=-0,5\)

\(b=4a=4\cdot(-0,5)=-2.\)

Ответ: \(a = -0,5; b = -2; c = 3.\)

Пояснения:

Формула вершины параболы \((m; n)\):

\[ m = -\frac{b}{2a},\qquad n = f(m). \]

Это справедливо для любой функции вида \( y = ax^2 + bx + c\)

Найдя координаты вершины параболы по графику, подставляем абсциссу в данное равенство \(m = -\frac{b}{2a}\) и находим соотношение \(a\) и \(b.\) 

Далее определяем координаты еще пары точек, которые принадлежат графику, подставив их в уравнение \( y = ax^2 + bx + c,\) находим значение коэффициентов.

а) \(\sqrt[9]{512}=\sqrt[9]{2^9} = 2\)

б) \(\sqrt[3]{1331} = \sqrt[3]{11^3} = 11\)

в) \(\sqrt[8]{0} = 0\)

г) \(\sqrt[5]{-243} =-\sqrt[5]{243} = -\sqrt[5]{3^5}=-3\)

д) \(\sqrt[4]{\dfrac{16}{625}} = \sqrt[4]{\left(\dfrac{2}{5}\right)^4} =\dfrac{2}{5}\)

е) \(\sqrt[6]{\dfrac{64}{729}}=\sqrt[6]{\left(\dfrac{2}{3}\right)^6}=\dfrac{2}{3}\)

Пояснения:

В задаче используется определение арифметического корня \(n\)-й степени:

\[ \sqrt[n]{a}=b \quad \text{если} \quad b^n=a \]

Для чётных степеней результат должен быть неотрицательным.

По свойству степени:

\(\left(\dfrac{a}{b}\right)^n =\dfrac{a^n}{b^n}\).

Главный приём — представить подкоренное выражение как степень, показатель которой равен показателю корня.