Упражнение 160 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 60

Приравниваем функции, чтобы найти точки пересечения:

\[ 2x^{2} - 5x + 6 = x^{2} - 7x + n. \]

Переносим всё в одну сторону:

\[ 2x^{2} - 5x + 6 - x^{2} + 7x - n = 0, \] \[ x^{2} + 2x + (6 - n) = 0. \]

Для того чтобы была ровно одна общая точка, квадратное уравнение должно иметь один корень. Это значит, что дискриминант равен нулю:

\[ D = 2^{2} - 4\cdot 1 \cdot (6 - n) = 4 - 24 + 4n = 4n - 20. \]

Условие касания:

\[ D = 0, \] \[ 4n - 20 = 0, \] \[ 4n = 20, \] \[ n = 5. \]

Теперь найдём координаты точки касания. Подставим \(n=5\) в уравнение:

\[ x^{2} + 2x + (6 - 5) = 0, \] \[ x^{2} + 2x + 1 = 0, \] \[ (x + 1)^2 = 0. \]

Корень один:

\[ x = -1. \]

Найдём \(y\), подставив в любую из функций, например: \[ y = 2x^{2} - 5x + 6. \]

\[ y = 2(-1)^2 - 5(-1) + 6 = 2 + 5 + 6 = 13. \]

Ответ: \(n = 5\); точка касания \((-1;\, 13)\).

Пояснения:

1. Чтобы графики двух парабол имели одну общую точку, их система должна иметь единственное решение, то есть квадратное уравнение — один корень.

2. Один корень бывает только при нулевом дискриминанте: \[ D = 0. \]

3. После нахождения параметра \(n\) точку касания находим подстановкой в любую из функций.