Вернуться к содержанию учебника
При каком значении \(n\) графики функций \(y = 2x^{2} - 5x + 6\) и \(y = x^{2} - 7x + n\) имеют только одну общую точку? Найдите координаты этой точки.
Вспомните:
\(y = 2x^{2} - 5x + 6,\) \(y = x^{2} - 7x + n\)
\( 2x^{2} - 5x + 6 = x^{2} - 7x + n\)
\( 2x^{2} - 5x + 6 - x^{2} + 7x - n = 0\)
\( x^{2} + 2x + (6 - n) = 0\)
\( D = 2^{2} - 4\cdot 1 \cdot (6 - n) =\)
\(=4 - 24 + 4n = 4n - 20. \)
Для того чтобы была ровно одна общая точка, квадратное уравнение должно иметь один корень, тогда:
\( D = 0 \)
\( 4n - 20 = 0\)
\( 4n = 20\)
\( n = 5. \)
Тогда:
\( x^{2} + 2x + (6 - 5) = 0 \)
\(x^{2} + 2x + 1 = 0\)
\( (x + 1)^2 = 0\)
\( x = -1. \)
\( y = 2(-1)^2 - 5(-1) + 6 =\)
\(=2 + 5 + 6 = 13. \)
Ответ: \(n = 5\); точка пересечения \((-1;\, 13)\).
Пояснения:
1. Чтобы графики двух парабол имели одну общую точку, надо, чтобы квадратное уравнение, которое мы получим, приравняв правые части функций, имело один корень.
2. Это происходит тогда, когда дискриминант равен нулю: \[ D = 0. \]
3. После нахождения параметра \(n\), подставляем его в полученное уравнение и находим переменную \(x\). Ординату \(y\) точки пересечения находим подстановкой значения \(x\) в любую из функций.
Вернуться к содержанию учебника