Упражнение 160 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\(y = 2x^{2} - 5x + 6,\)  \(y = x^{2} - 7x + n\)

\( 2x^{2} - 5x + 6 = x^{2} - 7x + n\)

\( 2x^{2} - 5x + 6 - x^{2} + 7x - n = 0\)

\( x^{2} + 2x + (6 - n) = 0\)

\( D = 2^{2} - 4\cdot 1 \cdot (6 - n) =\)

\(=4 - 24 + 4n = 4n - 20. \)

Для того чтобы была ровно одна общая точка, квадратное уравнение должно иметь один корень, тогда:

\( D = 0 \)

\( 4n - 20 = 0\)

\( 4n = 20\)

\( n = 5. \)

Тогда:

\( x^{2} + 2x + (6 - 5) = 0 \)

\(x^{2} + 2x + 1 = 0\)

\( (x + 1)^2 = 0\)

\( x = -1. \)

\( y = 2(-1)^2 - 5(-1) + 6 =\)

\(=2 + 5 + 6 = 13. \)

Ответ: \(n = 5\); точка пересечения \((-1;\, 13)\).

Пояснения:

1. Чтобы графики двух парабол имели одну общую точку, надо, чтобы  квадратное уравнение, которое мы получим, приравняв правые части функций, имело один корень.

2. Это происходит тогда, когда дискриминант равен нулю: \[ D = 0. \]

3. После нахождения параметра \(n\), подставляем его в полученное уравнение и находим переменную \(x\). Ординату \(y\) точки пересечения находим подстановкой значения \(x\) в любую из функций.

а) \(\sqrt[4]{16}=\sqrt[4]{2^4} = 2\)

б) \(\sqrt[5]{32} = \sqrt[5]{2^5} = 2\)

в) \(\sqrt[12]{1} =\sqrt[12]{1^{12}} = 1 \)

г) \(\sqrt[3]{-\dfrac{1}{8}}= -\sqrt[3]{\dfrac{1}{8}}=-\sqrt[3]{\left(\dfrac{1}{2}\right)^3}=-\dfrac{1}{2}\)

д) \(\sqrt[4]{5\dfrac{1}{16}}=\sqrt[4]{\dfrac{81}{16}}=\sqrt[4]{\left(\dfrac{3}{2}\right)^4}=\dfrac{3}{2} = 1,5\)

е) \(\sqrt[3]{3\dfrac{3}{8}}=\sqrt[3]{\dfrac{27}{8}}=\sqrt[3]{\left(\dfrac{3}{2}\right)^3}=\dfrac{3}{2}=1,5\)

Пояснения:

В задаче используется определение арифметического корня \(n\)-й степени:

\[ \sqrt[n]{a}=b \quad \text{если} \quad b^n=a \]

Для чётных степеней результат должен быть неотрицательным.

По свойству степени:

\(\left(\dfrac{a}{b}\right)^n =\dfrac{a^n}{b^n}\).

Чтобы найти значение выражение, у которого под корнем стоит смешанное число, нужно преобразовать смешанное число в неправильную дробь.

Главный приём — представить подкоренное выражение как степень, показатель которой равен показателю корня.