Упражнение 169 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 66

а) \(y=\dfrac{4}{x-3}\) - гипербола.

Вертикальная асимптота: \(x = 3\).

Горизонтальная асимптота: \(y = 0\).

б) \(y=\dfrac{4}{x}+2\) - гипербола.

Вертикальная асимптота: \(x = 0\).

Горизонтальная асимптота: \(y = 2\).

в) \(y=\dfrac{4}{x+3}\)

Вертикальная асимптота: \(x = -3\).

Горизонтальная асимптота: \(y = 0\).

г) \(y=\dfrac{4}{x}-2\)

Вертикальная асимптота: \(x = 0\).

Горизонтальная асимптота: \(y = -2\).

Пояснения:

Основные правила.

— График функции \(\displaystyle y=\frac{k}{x}\) — это гипербола, имеющая асимптоты:

\(x=0\) и \(y=0\).

Асимптота - это прямая, к которой график функции неограниченно приближается, но никогда не пересекает.

— Замена \(x\) на \((x-m)\) сдвигает график на \(m\) вправо.

— Замена \(x\) на \((x+m)\) сдвигает график на \(m\) влево.

— Добавление числа \(n\) сдвигает график вверх на \(n\) (если \(n>0\)) или вниз на \(|n|\) (если \(n<0\)).

Пояснение к пункту а).

\(y=\dfrac{4}{x-3}\) - графиком является гипербола, у которой вертикальная асимптота \(x=3\), горизонтальная асимптота \(y=0\). Поэтому график — гипербола \(y=\dfrac{4}{x}\), сдвинутая вправо на \(3\) единицы. Для построения графика функции пунктиром проводим асимптоту: прямую \(x = 3\). Так как гипербола состоит из двух ветвей, составляем две таблицы: одну для \(x < 3\), другую для \(x > 3\). Отметив точки в координатной плоскости, координаты которых указаны в первой таблице, и соединив их плавной непрерывной линией, получим одну ветвь гиперболы. Аналогично, используя вторую таблицу, получим вторую ветвь гиперболы.

Пояснение к пункту б).

\(y=\dfrac{4}{x}+2\) - графиком является гипербола, у которой вертикальная асимптота \(x=0\), горизонтальная асимптота \(y=2\). Поэтому график — гипербола \(y=\dfrac{4}{x}\), сдвинутая вверх на \(2\) единицы. Для построения графика функции пунктиром проводим асимптоту: прямую \(y = 2\). Так как гипербола состоит из двух ветвей, составляем две таблицы: одну для \(x < 0\), другую для \(x > 0\). Отметив точки в координатной плоскости, координаты которых указаны в первой таблице, и соединив их плавной непрерывной линией, получим одну ветвь гиперболы. Аналогично, используя вторую таблицу, получим вторую ветвь гиперболы.

Пояснение к пункту в).

\(y=\dfrac{4}{x+3}\) - графиком является гипербола, у которой вертикальная асимптота \(x=-3\), горизонтальная асимптота \(y=0\). Поэтому график — гипербола \(y=\dfrac{4}{x}\), сдвинутая влево на \(3\) единицы. Для построения графика функции пунктиром проводим асимптоту: прямую \(x = -3\). Так как гипербола состоит из двух ветвей, составляем две таблицы: одну для \(x < -3\), другую для \(x > -3\). Отметив точки в координатной плоскости, координаты которых указаны в первой таблице, и соединив их плавной непрерывной линией, получим одну ветвь гиперболы. Аналогично, используя вторую таблицу, получим вторую ветвь гиперболы.

Пояснение к пункту г).

\(y=\dfrac{4}{x}-2\) - графиком является гипербола, у которой вертикальная асимптота \(x=0\), горизонтальная асимптота \(y=-2\). Поэтому график — гипербола \(y=\dfrac{4}{x}\), сдвинутая вниз на \(2\) единицы. Для построения графика функции пунктиром проводим асимптоту: прямую \(y = 2\). Так как гипербола состоит из двух ветвей, составляем две таблицы: одну для \(x < 0\), другую для \(x > 0\). Отметив точки в координатной плоскости, координаты которых указаны в первой таблице, и соединив их плавной непрерывной линией, получим одну ветвь гиперболы. Аналогично, используя вторую таблицу, получим вторую ветвь гиперболы.