Упражнение 170 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(y=\dfrac{x+8}{x-2}\)

\(\dfrac{x+8}{x-2}=\dfrac{x-2 + 2 + 8}{x-2}=\)

\(=\dfrac{(x-2) + 10}{x-2}=1+\dfrac{10}{x-2}.\)

\(y=1+\dfrac{10}{x-2}\)

Асимптоты: \(x=2\) и \(y=1\).

б) \(y=-\dfrac{x-8}{x+3}\)

\(-\dfrac{x-8}{x+3}=-\dfrac{x+3-3-8}{x+3}=\)

\(=-\dfrac{(x+3)-11}{x+3}=-\left(1 - \dfrac{11}{x+3}\right)=\)

\(=-1 + \dfrac{11}{x+3}.\)

\(y=-1 + \dfrac{11}{x+3}\)

Асимптоты: \(x=-3\) и \(y=-1\)

Пояснения:

Асимптота - это прямая, к которой график функции неограниченно приближается, но никогда не пересекает.

Для функции вида \(\displaystyle y = \frac{k}{x - m} + n\) вертикальная асимптота: \(x = m\); горизонтальная асимптота: \(y = n.\)

Чтобы рассматриваемые функции привести к виду \(\displaystyle y = \frac{k}{x - m} + n\), нужно выделить целые части из дробей, соответствующих этим функциям. При этом учитываем, что значение выражения не изменится, если к нему прибавить и вычесть одно и то же число, а также помним:

\(\dfrac{a\pm b}{a} = \dfrac{a}{a} \pm \dfrac{b}{a} = 1 \pm \dfrac{b}{a}\).

а) \(\sqrt[3]{-125} = -\sqrt[3]{5^3} = -5\)

б) \(\sqrt[6]{0} = 0 \)

в) \(-5\sqrt[4]{16} =-5\sqrt[4]{2^4} = -5\cdot 2 = -10 \)

г) \(-3\sqrt[3]{-64} = -3\cdot (-\sqrt[3]{4^3})=\)

\(=3\cdot4 = 12 \)

д) \(3\sqrt[5]{(-1)^3} = 3\sqrt[5]{-1} =-3\sqrt[5]{1} =\)

\(=-3\cdot1 = -3 \)

е) \(-8\sqrt{144} = -8\cdot12 = -96\).

Пояснения:

Основное правило:

\[ \sqrt[n]{a}=b \quad \text{если} \quad b^n=a \]

Также важно помнить:

\( \sqrt[n]{-a}=-\sqrt[n]{a}\), если \(n\) нечётное,

\( \sqrt[n]{0}=0 \).