Упражнение 122 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(y = -1{,}5x^{2}\)

Свойства:

1. \(D =(-\infty; +\infty)  \)

2. \(E =(-\infty; 0]  \)

3. \(y=0\) при \(x=0\)

4. \(y<0\) при \(x\ne0\)

5. Функция возрастает на \((-\infty; 0]\) и убывает на \([0; +\infty)  \)

6.  Наибольшее значение функции равно нулю при \(x=0. \)

3. Функция чётная, так как:

\( (-x)^2 = x^2. \)

б) \(y = 0{,}8x^{2}\).

Свойства:

1. \(D =(-\infty; +\infty)  \)

2. \(E =[0; +\infty)\)

3. \(y=0\) при \(x=0\)

4. \(y>0\) при \(x\ne0\)

5. Функция возрастает на \([0; +\infty)\)  и убывает на \((-\infty; 0]\)

6.  Наименьшее значение функции равно нулю при \(x=0.\)

3. Функция чётная, так как:

\( (-x)^2 = x^2. \)

Пояснения:

Квадратичная функция имеет общий вид \(y = ax^{2}\). Если \(a>0\), то ветви параболы направлены вверх; если \(a<0\), ветви параболы направлены вниз. Вершина всегда в точке \(x=0\), если нет других слагаемых. Чётность гарантирует симметрию относительно оси \(y\).

а) Это парабола, ветви направлены вниз, так как коэффициент \(-1,5 < 0\). Парабола более «крутая», чем стандартная \(y = -x^{2}\), так как модуль коэффициента больше 1.

б) Это парабола, ветви направлены вверх, так как коэффициент \(0,8 > 0\). Парабола более «широкая», чем стандартная \(y=x^{2}\), так как \(0,8 < 1\).

Знак \(a\) определяет область значений:

\( a>0 \Rightarrow y\ge0, \quad a<0 \Rightarrow y\le0. \)

\( y = -x^2 + 2x + 8. \)

1. Графиком данной функции является парабола, ветви которой направлены вниз \((a=-1<0).\)

2. \( m = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2\cdot(-1)} = 1, \)

\(n= -(1)^2 + 2\cdot1 + 8 =\)

\(=-1 + 2 + 8 = 9. \)

Вершина параболы: \((1; \,9)\).  Прямая \(x=1\) - ось симметрии параболы.

3. Нули функции:

\(-x^2 + 2x + 8=0\) 

\(D=b^2-4ac=2^2-4\cdot(-1) \cdot8=\)

\(=4+32=36,\) \(\sqrt{D}=6.\)

\(x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\)

\(x_{1}=\frac{-2+6}{2\cdot(-1)}=\frac{4}{-2}=-2\)

\(x_{2}=\frac{-2-6}{2\cdot(-1)}=\frac{-8}{-2}=4\)

\((-2; 0)\) и \((4; 0)\) - точки пересечения с осью \(x\)

4. Точка пересечения с осью \(y\):

\(x=0\): \(y=-0^2 + 2\cdot0 + 8=8\)

\((0; 8)\).

а) При \(x = 2{,}5\) \( y\approx 6{,}8. \)

При  \(x = -0{,}5\) \( y\approx 6{,}8. \)

При \(x =-3\) \( y= -7. \)

б) \(y=6\) при  \(x\approx2,7\) и  \(x\approx0,7\)

\(y=0\) при \( x=-2\) и \(x=4. \)

\(y=-2\) при  \(x\approx4,3\) и  \(x\approx2,3\)

в)  \(y=0\) при \( x=-2\) и \(x=4. \)

\(y<0\) при \(x\in(-\infty; -2)\cup(4; +\infty)\)

\(y<0\) при \(x\in(-2; 4)\).

г) Возрастает на \((-\infty,\;1]\);

Убывает на \([1,\;+\infty)\).

\[ E=(-\infty,\;9]. \]

Пояснения:

1. Формула вершины параболы \((m; n)\):

\[ m = -\frac{b}{2a},\qquad n = f(m). \]

Это справедливо для любой функции вида \[ y = ax^2 + bx + c. \]

2. Ось симметрии

Ось симметрии — вертикальная прямая: \( x = m\).

3. Направление ветвей

• если \(a > 0\) — ветви вверх;

• если \(a < 0\) — ветви вниз.