Упражнение 120 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник
Старая и новая редакции
Вернуться к содержанию учебника
Вопрос
Выберите год учебника
№120 учебника 2023-2026 (стр. 48):
Постройте в одной системе координат графики функций \[ y = x^{2}, y = 1{,}8x^{2},y = \frac{1}{3}x^{2}. \] Сравните значения этих функций при \(x = 0,5\), \(x = 1\) и \(x = 2\).
№120 учебника 2014-2022 (стр. 47):
Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью \(v_0\text{ (м/с)}\) с высоты \(h_0 \text{ (м)}\). Высота \(h\text{ (м)}\), на которой окажется тело через \(t\text{ (с)}\), выражается формулой \[ h = -\frac{gt^2}{2} + v_0 t + h_0,\]
\[(g \approx 10 \text{ м/с}^2). \]
На рисунке 34 изображён график зависимости высоты \(h\) от \(t\) для случая, когда \(h_0 = 20,\) \(v_0 = 15\). Найдите по графику:
а) сколько времени тело поднималось вверх;
б) сколько времени оно опускалось вниз;
в) какой наибольшей высоты достигло тело;
г) через сколько секунд тело упало на землю.
Подсказка
№120 учебника 2023-2026 (стр. 48):
№120 учебника 2014-2022 (стр. 47):
Вспомните:
Ответ
№120 учебника 2023-2026 (стр. 48):
\(y = x^{2}\)
| \(x\) | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| \(y\) | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9 |
\(y = 1{,}8x^{2}\)
| \(x\) | -2,5 | -2 | -1,5 | -1 |
| \(y\) | 11,25 | 7,2 | 4,05 | 1,8 |
| \(x\) | 0 | 1 | 1,5 | 2 | 2,5 |
| \(y\) | 0 | 1,8 | 4,05 | 7,2 | 11,25 |
\(y = \frac{1}{3}x^{2}\)
| \(x\) | -6 | -3 | 0 | 3 | 6 |
| \(y\) | 12 | 3 | 0 | 3 | 12 |
Найдём значения функций по графику.
| \(x\) | 0,5 | 1 | 2 |
| \(y = x^{2}\) | 0,25 | 1 | 4 |
| \(y = 1{,}8x^{2}\) | 0,5 | 1,8 | 7,2 |
| \(y = \frac{1}{3}x^{2}\) | 0,1 | 0,3 | 1,3 |
Сравнение значений:
Во всех трёх случаях выполняется:
\( 1,8x^{2} > x^{2} > \frac{1}{3}x^{2}. \)
Пояснения:
1. Все три функции имеют вид \(y = kx^{2}\).
Графики — параболы с вершиной в точке (0;0). Параметр \(k\) определяет «ширину» и «крутизну» параболы:
\( k = 1,8\) (самая узкая, растёт быстрее всех)
\( k = 1\) (обычная парабола)
\( k = \frac{1}{3}\) (самая широкая, растёт медленнее всех).
2. Подстановка значений.
Для каждого значения \(x\) подставляем его в формулы, сначала возводим в квадрат, затем умножаем на коэффициент.
3. Сравнение функций.
Так как квадраты для всех функций имеют одно и то же значение, то различие — только в коэффициентах. Поэтому:
\(1.8x^{2} > 1\cdot x^{2} > \frac{1}{3}x^{2}\) для любого \( x\neq 0. \)
При \(x = 0\) все функции равны нулю, но в задаче рассматриваются другие значения.
№120 учебника 2014-2022 (стр. 47):
а) \( t = 1{,}5\text{ с}\) - время подъёма.
б) \( 4 - 1{,}5 = 2{,}5\text{ с} \) - время спуска.
в) \( 31,25\text{ м} \) - наибольшая высота.
г) через \( t \approx 3{,}0\text{ с} \) тело достигнет земли.
Пояснения:
1. Подъём тела
Тело движется вверх, пока скорость положительна, то есть пока график высоты растёт. Максимум — вершина параболы — отмечена на графике в \(t = 1{,}5\text{ с}\).
2. Спуск тела
После достижения максимальной точки график убывает. Время спуска — это разница между временем падения на землю ( 4 с) и временем достижения максимума (1,5 с).
3. Максимальная высота
Считается по максимальному значению графика — это верхняя точка параболы. Цена деления одной клетки равна 5 : 4 = 1,25 (м), значит, максимальная высота равна \(30 + 1,25 = 31,25\) (м).
4. Время падения
Это момент, когда \(h = 0\). По рисунку это точка с абсциссой \(t=4\text{ с}\).
Вернуться к содержанию учебника