Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№70 учебника 2023-2026 (стр. 23):
Алексею Петровичу необходимо покрасить в два слоя стены на застеклённом балконе шириной 800 мм, длиной 2700 мм и высотой 3200 мм. Остекление балкона и балконный блок занимают \(\tfrac14\) площади его стен. Сколько литровых банок краски ему нужно купить, если расход краски составляет 250 мл на 1 м² при покраске в один слой?
№70 учебника 2014-2022 (стр. 26):
(Задача-исследование.) Выясните, какой из прямоугольных треугольников с суммой катетов, равной 6 см, имеет наибольшую площадь. Вычислите эту площадь.
1) Обозначьте длину одного из катетов через \(x\) см и составьте выражение для вычисления площади треугольника.
2) Исследуйте, при каких значениях переменной составленное выражение принимает наибольшее значение.
3) Вычислите, чему равно значение площади треугольника при указанных значениях переменной.
№70 учебника 2023-2026 (стр. 23):
Вспомните:
№70 учебника 2014-2022 (стр. 26):
Вспомните:
№70 учебника 2023-2026 (стр. 23):
Ширина: \( 800\ \text{мм} = 0{,}8\ \text{м},\)
Длина: \(2700\ \text{мм} = 2{,}7\ \text{м},\)
Высота: \(3200\ \text{мм} = 3{,}2\ \text{м}. \)
Остекление - \(\frac14\) площади стен.
Расход краски (1 слой) - 250 мл на 1 м².
Краски на 2 слоя - ? литровых банок
1) \(2\cdot(0{,}8\cdot 3{,}2) + 2\cdot(2{,}7\cdot 3{,}2)=\)
\(=2\cdot2,56 + 2\cdot8,64=\)
\(=6,12 + 17,28 = 22,4\) (м2) - площадь стен балкона вместе с остеклением.
2) \(1 - \frac14 = 1 - 0,25 =0,75\) - балкона необходимо покрасить.
3) \(22{,}4 \cdot 0,75 = 16{,}8\ \text({м}^2) \) - площадь покраски в 1 слой.
| × | 2 | 2 | 4 | ||
| 0 | 7 | 5 | |||
| + | 1 | 1 | 2 | 0 | |
| 1 | 5 | 6 | 8 | ||
| 1 | 6 | 8 | 0 | 0 |
4) \(16{,}8 \cdot 2 = 33{,}6\ \text({м}^2) \) - площадь покраски в 2 слоя.
5) \( 33{,}6 \cdot 250 = 8400\ \text({мл}) =8,4\ \text({л}) \)
| × | 3 | 3 | 6 | ||
| 2 | 5 | 0 | |||
| + | 1 | 6 | 8 | 0 | |
| 6 | 7 | 2 | |||
| 8 | 4 | 0 | 0 | 0 |
Ответ: 9 литровых банок.
Пояснения:
— Площадь стен считается как периметр балкона, умноженный на высоту.
— Остекление уменьшает площадь окрашиваемых поверхностей.
— Два слоя означают, что площадь умножается на 2.
— С учётом расхода краски переводим объём в литры: \(1\) л = \(1000\) мл.
— Покупают всегда целое число банок, округляя вверх.
№70 учебника 2014-2022 (стр. 26):
Пусть первый катет равен \(x\) см, тогда второй катет - \((6-x)\) см. Площадь прямоугольного треугольника:
\(S=\frac12\cdot x\cdot(6-x)\)
\(=3x-\frac12x^{2} =-\frac12(x^2 - 6x)=\)
\(=-\frac12((x^2 - 2\cdot3\cdot x+3^2) - 3^2)=\)
\(=-\frac12((x-3)^2 - 9)=\)
\(=-\frac12(x-3)^2 + 4,5\).
Наибольшее значение площади будет при:
\((x - 3)^2 = 0\)
\(x - 3 = 0\)
\(x = 3\) (см) - первый катет.
Наибольшая площадь:
\(-\frac12\cdot0 + 4,5=0+4,5 = 4,5\) (см2).
Второй катет:
\(6 - 3 = 3 \) (см)
Ответ: наибольшее значение площади равно \(4,5\) см2 при катетах равных по 3 см каждый.
Пояснения:
Сумма катетов равна \(6\), значит, если первый катет равен \(x\) см, то второй катет будет равен \(6-x\) см. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:
или, раскрыв скобки:
\(S=3x-\frac12x^{2} \).
Чтобы определить, при каком значении \(x\) площадь будет наибольшей, выделим квадрат двучлена из полученного выражения, учитывая то, что значение выражения не изменяется, если к нему прибавить и вычесть одно и то же число (выражение).
Сначала выносим за скобки множитель \(-\frac12\), затем в скобках прибавляя и вычитая \(3^2\), можем выделить квадрат разности:
\(S=-\frac12((x-3)^2 - 9)=\)
\(=-\frac12(x-3)^2 + 4,5\).
Учитывая отрицательный коэффициент перед скобками, полученное выражение будет наибольшим, если
\((x - 3)^2 = 0\), то есть
\(x - 3 = 0\), откуда \(x = 3\).
Значит, площадь будет наибольшей, когда один из катетов равен 3 см, и ее значение:
\(-\frac12\cdot0 + 4,5=0+4,5 = 4,5\) (см2).
Сумма катетов по условию равна 6 см, один из катетов равен 3 см, значит, второй катет равен:
\(6 - 3 = 3 \) (см).
Вернуться к содержанию учебника