Упражнение 1007 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(\dfrac{a+b}{c} ^{\color{blue}{\backslash ab}} +\dfrac{b+c}{a} ^{\color{blue}{\backslash bc}} +\dfrac{a+c}{b} ^{\color{blue}{\backslash ac}} \ge 6\),

если \(a>0,\;b>0,\;c>0\)

\(\frac{ab(a+b) + bc(b + c) + ac(a + c)}{abc} \ge 6\)

\(\frac{a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + a^2c + ac^2}{abc} \ge 6\) \(/\times abc\)

\(a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + a^2c + ac^2 \ge 6abc\)

\((ab^2 + ac^2) + (a^2b + bc^2) + (b^2c + a^2c) \ge 6abc\)

1) \(\frac{ab^2 + ac^2}{2} \ge \sqrt {a^2b^2c^2}\)

\(\frac{ab^2 + ac^2}{2} \ge abc\)

2) \(\frac{a^2b + bc^2}{2} \ge \sqrt {a^2b^2c^2}\)

\(\frac{a^2b + bc^2}{2} \ge abc\)

3) \(\frac{b^2c + a^2c}{2} \ge \sqrt {a^2b^2c^2}\)

\(\frac{b^2c + a^2c}{2} \ge abc\)

Складываем неравенства:

\(\frac{ab^2 + ac^2}{2} + \frac{ab^2 + ac^2}{2} + \frac{b^2c + a^2c}{2} \ge abc + abc + abc\)

\(\frac{ab^2 + ac^2}{2} + \frac{ab^2 + ac^2}{2} + \frac{b^2c + a^2c}{2} \ge 3abc \) \(/\times 2\)

\((ab^2 + ac^2) + (a^2b + bc^2) + (b^2c + a^2c) \ge 6abc\)

Что и требовалось доказать.

б) \((1+a)(1+b)(1+c)>24\),

если \(a>0,\;b>0,\;c>0\) и \(abc=9\).

\(\frac{1+a}{2} \ge \sqrt a\)

\(\frac{1+b}{2} \ge \sqrt b\)

\(\frac{1+c}{2} \ge \sqrt c\)

Умножаем неравенства:

\(\frac{1+a}{2} \cdot \frac{1+b}{2} \cdot \frac{1+c}{2} \ge \sqrt {abc}\)

\(\frac{(1+a)(1+b)(1+c)}{8} \ge \sqrt 9\)

\(\frac{(1+a)(1+b)(1+c)}{8} \ge 3\)  \(/\times 8\)

\((1+a)(1+b)(1+c) \ge 24\)

Что и требовалось доказать.

Пояснения:

При доказательстве используем соотношение между средним арифметическим и средним геометрическим двух положительных чисел:среднее арифметическое любых двух положительных чисел всегда больше или равно их среднему геометрическому.

Среднее арифметическое двух чисел равно сумме этих чисел, делённой на 2.

Среднее геометрическое двух чисел равно корню квадратному из произведения этих чисел.

Также при доказательстве используем то, что:

- если почленно сложить верные неравенства одного знака, то получится верное неравенство;

- если почленно перемножить верные неравенства одного знака, левые и правые части которых - положительные числа, то получится верное неравенство;

- если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится верное неравенство.

Свойства арифметического корня:

\(\sqrt a \cdot \sqrt b = \sqrt{ab}\),

\(\sqrt{a^2} = a\) при \(a \ge 0\).

а) \( (0{,}25x^{-4}y^{-3})^{2} \cdot \left(\dfrac{x^{-3}}{4y^2}\right)^{-3} =\)

\(=(\frac14)^{2}x^{-8}y^{-6} \cdot \left(\dfrac{4y^2}{x^{-3}}\right)^{3} =\)

\(=\frac{1}{4^2}x^{-8}y^{-6} \cdot \dfrac{4^3y^6}{x^{-9}}= \)

\(=4^3\cdot4^{-2}\cdot x^{-8}x^9y^{-6}y^6= \)

\(= 4^{3+(-2)}x^{-8+9}y^{-6+6} =\)

\(=4^1x^1y^0 = 4x. \)

б) \( \left(\dfrac{a^{-3}b^{4}}{9}\right)^{-2} \cdot \left(\dfrac{3}{a^{-2}b^{3}}\right)^{-3} =\)

\(=\left(\dfrac{3^2}{a^{-3}b^{4}}\right)^{2} \cdot \left(\dfrac{a^{-2}b^{3}}{3}\right)^{3} =\)

\(=\dfrac{3^4}{a^{-6}b^{8}} \cdot \dfrac{a^{-6}b^{9}}{3^3} =\)

\(=3^4\cdot3^{-3}\cdot a^{6}a^{-6}b^{-8}b^9 =\)

\(=3^{4+(-3)}a^{6+(-6)}b^{-8+9} =\)

\(=3^1a^0b^1 = 3b\)

в) \( \left(\dfrac{c^{-4}}{10a^{5}b^{2}}\right)^{-2} \cdot (5a^{3}bc^{2})^{-2} =\)

\(=\left(\dfrac{10a^{5}b^{2}}{c^{-4}}\right)^{2} \cdot 5^{-2}a^{-6}b^{-2}c^{-4} =\)

\(=\dfrac{100a^{10}b^{4}}{c^{-8}} \cdot \frac{1}{5^2}a^{-6}b^{-2}c^{-4} =\)

\(=100a^{10}b^{4}c^{8} \cdot \frac{1}{25}a^{-6}b^{-2}c^{-4}= \)

\(=\frac{100}{25}a^{10+(-6)}b^{4+(-2)}c^{8+(-4)} =\)

\[ = 4a^{4}b^{2}c^{4}. \]

г) \( \left(\dfrac{x^{2}y^{-3}}{6z}\right)^{-3} \cdot \left(\dfrac{x^{2}y^{-2}}{9z}\right)^{2} =\)

\(=\left(\dfrac{6z}{x^{2}y^{-3}}\right)^{3} \cdot \dfrac{x^{4}y^{-4}}{9^{2}z^{2}} =\)

\(=\dfrac{6^3z^3}{x^{6}y^{-9}} \cdot \dfrac{x^{4}y^{-4}}{81z^{2}} =\)

\(=\frac{216}{81}x^{-6}y^9z^3\cdot x^4y^{-4}z^{-2}=\)

\(=\frac{8}{3}x^{-6+4}y^{9+(-4)}z^{3+(-2)}=\)

\(=2\frac23x^{-2}y^5z.\)

Пояснения:

Основные свойства степеней:

\( (a^{m})^{n} = a^{mn}, \)

\((ab)^{n} = a^{n}b^{n}, \)

\(\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^{n} = \frac{b^n}{a^n}, \)

\(\frac{a^n}{a^m} = a^{n-m},\)

\(a^{-n} = \frac{1}{a^{n}}, \)

\(\frac{1}{a^{-n}} = a^n,\)

\(a^0 = 1.\)