Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№1012 учебника 2023-2025 (стр. 227):
Докажите, что при любом \(a\), большем 1, верно неравенство \[ \frac{1}{\sqrt a}<\sqrt{a+1}-\sqrt{a-1}. \]
№1012 учебника 2013-2022 (стр. 222):
Сократите дробь \(\dfrac{\overline{ac}}{\overline{abc}}\), зная, что \(b = a + c.\)
№1012 учебника 2023-2025 (стр. 227):
Вспомните:
№1012 учебника 2013-2022 (стр. 222):
Вспомните:
№1012 учебника 2023-2025 (стр. 227):
\(a > 1\)
\( \frac{1}{\sqrt a}<\sqrt{a+1}-\sqrt{a-1} \)
\(\sqrt{a+1}-\sqrt{a-1} =\frac{(\sqrt{a+1}-\sqrt{a-1})(\sqrt{a+1}+\sqrt{a-1})}{\sqrt{a+1}+\sqrt{a-1}} \)
\(=\frac{(\sqrt{a+1})^2-(\sqrt{a-1})^2}{\sqrt{a+1}+\sqrt{a-1}}=\)
\(=\frac{a+1-(a-1)}{\sqrt{a+1}+\sqrt{a-1}}=\)
\(=\frac{\cancel a+1-\cancel a+1}{\sqrt{a+1}+\sqrt{a-1}}=\)
\(=\frac{2}{\sqrt{a+1}+\sqrt{a-1}}\)
\( \frac{1}{\sqrt a}<\frac{2}{\sqrt{a+1}+\sqrt{a-1}}\) \(/ \times \sqrt a(\sqrt{a+1}+\sqrt{a-1})\)
\(\sqrt{a+1}+\sqrt{a-1} < 2\sqrt a\)
\((\sqrt{a+1}+\sqrt{a-1})^2 < (2\sqrt a)^2\)
\((\sqrt{a+1})^2+2\sqrt{(a+1)(a-1)}+(\sqrt{a-1})^2 < 4a\)
\(a+1+2\sqrt{a^2-1}+a-1 < 4a\)
\( 2a+2\sqrt{a^2-1}<4a \)
\( 2\sqrt{a^2-1}<4a - 2a \)
\( 2\sqrt{a^2-1}<2a \) \(/ : 2\)
\( \sqrt{a^2-1} < a\)
\(a^2 -1 < a^2\) верно при любом \(a > 1\)
Пояснения:
При доказательстве сначала преобразовали правую часть неравенства, учитывая то, что значение выражения не изменится, если его умножить на одно и то же число. Тем самым в числителе полученной дроби имеем квадрат разности двух выражений. Учитывая то, что по свойству квадратного корня \((\sqrt a ) ^2 = a\), выражение из правой части неравенства принимает вид:
\(\frac{2}{\sqrt{a+1}+\sqrt{a-1}}\).
Тогда получаем равносильное неравенство:
\( \frac{1}{\sqrt a}<\frac{2}{\sqrt{a+1}+\sqrt{a-1}}\).
Если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится верное неравенство. Домножив обе части неравенства на
\(\sqrt a(\sqrt{a+1}+\sqrt{a-1}\), имеем:
\(\sqrt{a+1}+\sqrt{a-1} < 2\sqrt a\).
Далее используем то, что если левая и правая части верного неравенства положительные числа, то при возведении их в квадрат получится верное неравенство. Тогда после возведения в квадрат и выполнения преобразований имеем:
\( \sqrt{a^2-1} < a\).
Снова обе части неравенства возводим в квадрат, получаем неравенство,
\(a^2 -1 < a^2\),
которое верно при любых значениях \(a>1\), что доказывает исходное неравенство.
№1012 учебника 2013-2022 (стр. 222):
\(b = a + c\)
\(\dfrac{\overline{ac}}{\overline{abc}} = \dfrac{10a + c}{100a + 10b + c} =\)
\(= \dfrac{10a + c}{100a + 10b + c} =\)
\(= \dfrac{10a + c}{100a + 10(a+c) + c} =\)
\(= \dfrac{10a + c}{100a + 10a+10c + c} =\)
\(= \dfrac{10a + c}{110a + 11c} =\)
\(=\dfrac{\cancel{10a + c}}{11\cancel{(10a + c)}}=\dfrac{1}{11}\)
Пояснения:
Запись \(\overline{ac}\) является обозначением двузначного числа, содержащего \(a\) десятков и \(b\) единиц, то есть \(\overline{ac}=10a + c\).
Запись \(\overline{abc}\) является обозначением трехзначного числа, содержащего \(a\) сотен, \(b\) десятков и \(c\) единиц, то есть \(\overline{abc}=100a + 10b + c\).
Следовательно,
\(\dfrac{\overline{ac}}{\overline{abc}} = \dfrac{10a + c}{100a + 10b + c}.\)
Учитывая то, что \(b = a + c\), получим:
\(\dfrac{10a + c}{100a + 10(a+c) + c}.\)
Раскрыв скобки в знаменателе, и приведя подобные слагаемые, имеем:
\(\dfrac{10a + c}{110a + 11c}.\)
В знаменателе выносим за скобки общий множитель \(11\):
\(\dfrac{\cancel{10a + c}}{11\cancel{(10a + c)}}\).
Сокращаем числитель и знаменатель на их общий множитель \(10a + c\) и получаем: \(\dfrac{1}{11}\).
Вернуться к содержанию учебника