Упражнение 1008 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\(a>0,\;b>0\)

Докажем, что

\(\left(\frac{a+b}{2}\right)^3 \le \frac{a^3+b^3}{2} \)

\(\frac{(a+b)^3}{8} \le \frac{a^3+b^3}{2} \)  \(/\times 8\)

\( (a+b)^3 \le 4(a^3+b^3) \)

\( a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 \le 4a^3+4b^3 \)

\( a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 - 4a^3 - 4b^3 \le 0 \)

\( 3a^2b+3ab^2 - 3a^3 - 3b^3 \le 0 \) \(/ : 3\)

\( a^2b+ab^2 - a^3 - b^3 \le 0 \)

\( (a^2b- a^3) + (ab^2 - b^3) \le 0 \)

\(a^2(b - a) -b^2(b - a) \le 0\)

\((b - a) (a^2-b^2) \le 0\)

\(-(a-b)(a-b)(a+b) \le 0\)

\(-(a-b)^2(a+b) \le 0\) - верно при любых \(a>0\) и \(b>0\).

Что и требовалось доказать.

Пояснения:

При выполнении доказательства использовали следующие приемы:

- куб суммы двух выражений:

\((a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\);

- распределительное свойство умножения:

\(k(a + b) = ka + kb\);

- разность квадратов двух выражений:

\(a^2 - b^2= (a-b)(a + b)\);

- свойство степени:

\((\frac{a}{b} )^n = \frac{a^n}{b^n}\);

- если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится верное неравенство.

а) \(\left(\dfrac{2x^{-1}}{3y^{-2}}\right)^{-2} \cdot 12xy^{5} =\)

\(=\left(\dfrac{3y^{-2}}{2x^{-1}}\right)^{2} \cdot 12xy^{5} =\)

\(=\left(\dfrac{3x}{2y^{2}}\right)^{2} \cdot 12xy^{5} = \)

\(= \dfrac{9x^{2}}{\cancel4y^{4}} \cdot  ^{\color{blue}{3}} \cancel{12}xy^{5} =\)

\(=27x^{2+1}y^{5-4} =27x^{3}y\).

б) \(4a^7b^{-1} \cdot \left(\dfrac{ab}{5}\right)^{-1} =\)

\(=4a^7 b^{-1} \cdot \dfrac{5}{ab} =\)

\(=20a^{7-1} b^{-1-1} = 20a^{6}b^{-2} = \dfrac{20a^6}{b^{2}}\).

в) \((2a^{-2}b^{3})^{2} \cdot \left(\dfrac{a}{b}\right)^{-6} =\)

\(=4a^{-4}b^{6} \cdot \left(\dfrac{b}{a}\right)^{6} =\)

\(=4a^{-4}b^{6} \cdot \dfrac{b^6}{a^6} =\)

\(=4a^{-4 - 6}b^{6+6} =4a^{-10}b^{12}= \dfrac{4b^{12}}{a^{10}}\).

г) \(\left(\dfrac{2x^{2}}{y^{3}}\right)^{-1} \cdot (x^{-1}y)^{3} = \)

\(=\dfrac{y^{3}}{2x^{2}} \cdot x^{-3}y^{3} =\frac12x^{-3-2}y^{3+3}=\)

\(=\frac12x^{-5}y^6=\dfrac{y^{6}}{2x^{5}}\).

Пояснения:

Основные правила:

1. При возведении степени в степень: \((a^{m})^{n} = a^{mn}\).

2. При делении степеней с одинаковым основанием: \(\dfrac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m-n}\).

3. При умножении степеней с одинаковым основанием:

\(a^{m} \cdot a^{n} = a^{m+n}\).

4. Отрицательная степень: \(a^{-n} = \dfrac{1}{a^{n}}\).

5. Возведение дроби в степень: \(\left(\dfrac{a}{b}\right)^{n} = \dfrac{a^{n}}{b^{n}}\).