Упражнение 1009 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\[ \sqrt{(a+c)(b+d)} \ge \sqrt{ab}+\sqrt{cd}, \] если \(a>0,\; b>0,\; c>0,\; d>0\).

\[ (a+c)(b+d) \;\ge\; \bigl(\sqrt{ab}+\sqrt{cd}\bigr)^2 \]

\[ ab+ad+bc+cd \;\ge\; (\sqrt{ab})^2 + 2\sqrt{ab}\cdot\sqrt{cd} + (\sqrt{cd})^2 \]

\[ ab+ad+bc+cd \;\ge\; ab + 2\sqrt{abcd} + cd \]

\[ \cancel{ab}+ad+bc+\cancel{cd}-\cancel{ab}-\cancel{cd} \;\ge\; 2\sqrt{abcd}. \]

\[ ad+bc \;\ge\; 2\sqrt{abcd}. \]

\[ ad-2\sqrt{abcd}+bc \;\ge\; 0 \]

\[ (\sqrt{ad})^2-2\sqrt{abcd}+(\sqrt{bc})^2 \;\ge\; 0 \]

\( (\sqrt{ad}-\sqrt{bc})^2 \;\ge\; 0 \) - верно при любых \(a>0,\; b>0,\; c>0,\; d>0\).

Пояснения:

При доказательстве используем то, что если левая и правая части верного неравенства положительные числа, то при возведении их в квадрат получится верное неравенство.

Квадрат суммы двух выражений:

\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\).

Квадрат разности двух выражений:

\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).

Свойства корня:

\((\sqrt a)^2 = a)\);

\(\sqrt a \cdot \sqrt b = \sqrt {ab}\).

\(x_1\) и \(x_2\) — корни уравнения

\(x^2 - \frac68x + \frac n8 = 0\)

\(x_1^{-1} + x_2^{-1} = 6\)

По теореме Виета:

\(x_1 + x_2 = \dfrac{6}{8} = \dfrac{3}{4}\),

\(x_1 x_2 = \dfrac{n}{8}\).

\(x_1^{-1} + x_2^{-1} = \frac{1}{x_1} ^{\color{blue}{\backslash x_2}} + \frac{1}{x_1} ^{\color{blue}{\backslash x_1}} =\)

\(=\dfrac{x_2 + x_1}{x_1 x_2} =\dfrac{x_1 + x_2}{x_1 x_2} = 6\).

\(\dfrac{\frac{3}{4}}{\frac{n}{8}} = 6\)

\(\frac{3}{4}:\frac{n}{8} = 6\)

\(\dfrac{3}{_{\color{blue}{1}} \cancel4} \cdot \dfrac{\cancel8  ^{\color{blue}{2}} }{n   } = 6\).

\(\dfrac{6}{n} = 6\)

\(n = 1.\)

Ответ: \(n = 1.\)

Пояснения:

Теорема Виета:

если квадратное уравнение имеет вид \(ax^2 + bx + c = 0\), то для его корней \(x_1\) и \(x_2\) выполняются соотношения:

\(x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}\),

\(x_1 x_2 = \dfrac{c}{a}\).

В данной задаче уравнение

\(8x^2 - 6x + n = 0\), поэтому:

\(x_1 + x_2 = \dfrac{6}{8} = \dfrac{3}{4}\) и \(x_1 x_2 = \dfrac{n}{8}\).

Также известно, что \(x_1^{-1} + x_2^{-1} = 6\), а согласно определению степени

\(a^{-n} = \dfrac{1}{a^{n}}\), тогда

\(x_1^{-1} + x_2^{-1} = \frac{1}{x_1} ^{\color{blue}{\backslash x_2}} + \frac{1}{x_1} ^{\color{blue}{\backslash x_1}} =\)

\(=\dfrac{x_1 + x_2}{x_1 x_2}\).

Итак, \(x_1 + x_2 = \dfrac{3}{4}\), \(x_1 x_2 = \dfrac{n}{8}\),

\(\dfrac{x_1 + x_2}{x_1 x_2}\), тогда имеем:

\(\dfrac{\frac{3}{4}}{\frac{n}{8}} = 6\), откуда \(n = 1\).