Упражнение 1010 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\(\frac{3}{a+b+c}<\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\)

\(a>0,\; b>0,\; c>0\).

\( \frac{1}{a+b+c}+\frac{1}{a+b+c} +\frac{1}{a+b+c} < \frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\)

\(\frac{1}{a+b+c} < \frac{1}{a+b}\),

\(\frac{1}{a+b+c} < \frac{1}{b+c}\),

\(\frac{1}{a+b+c} < \frac{1}{c+a}\)

Следовательно,

\(\frac{3}{a+b+c}<\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\)

при \(a>0,\; b>0,\; c>0\).

Что и требовалось доказать.

Пояснения:

При доказательстве помним, чем меньше слагаемые в сумме, тем меньше будет сумма, и то, что из двух дробей с одинаковыми числителями меньше та дробь, у которой знаменатель больше.

\(\dfrac{2x - 7}{x + 1} + \dfrac{3x + 2}{x - 1} = 7\)  \(/\times(x + 1)(x - 1)\).

ОДЗ: \(x + 1 \ne0\)  и  \(x - 1 \ne 0\)

         \(x \ne -1\)          \(x \ne 1\)

\((2x - 7)(x - 1) + (3x + 2)(x + 1)= 7(x + 1)(x - 1)\)

\(2x^2 - \cancel{2x} - 7x + 7 + 3x^2 + 3x + \cancel{2x} + 2= 7(x^2 - 1)\)

\(5x^2 - 4x + 9 = 7x^2 - 7 \)

\(5x^2 - 4x + 9 - 7x^2 + 7 = 0 \)

\(-2x^2 - 4x + 16 = 0\)   \(/ : (-2)\)

\(x^2 + 2x - 8 = 0.\)

\(a = 1\),  \(b = 2\),  \(c = -8\)

\(D =b^2-4ac= \)

\(=2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) =\)

\(4 + 32 = 36,\)    \(\sqrt D = 6\).

\(x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \)

\(x_1 = \dfrac{-2 + 6}{2\cdot1}=\dfrac42=2,\)

\(x_2 = \dfrac{-2 - 6}{2\cdot1}=\dfrac{-8}{2}=-4.\)

Ответ: \(x = 2\) или \(x = -4.\)

Пояснения:

Алгоритм решения уравнений:

1) найти ОДЗ (область допустимых значений), то есть те значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль;

2) найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение (предварительно,если возможно, разложить все знаменатели на множители);

3) умножить обе части уравнения на общий знаменатель;

4) решить получившееся целое уравнение;

5) исключить из его корней те, которые совпадают с ОДЗ.

Полное квадратное уравнение

\(ax^2 + bx + c=0\) решаем через дискриминант \(D = b^2-4ac\), учитывая то, что при \(D>0\) уравнение имеет два корня:

\(x_1 =\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}\);

\(x_2 =\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}\).

Раскрытие скобок:

\(a(b + c) = ab + ac\);

\((a + b)(c -d) = ac - ad + bc -bd\).

Разность квадратов:

\(a^2 - b^2 = (a-b)(a + b)\).