Упражнение 1005 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(\dfrac{x}{y^{2}}+\dfrac{y}{x^{2}}\ge \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\), \(x>0\) и \(y>0\)

\( \left(\frac{x}{y^{2}} ^{\color{blue}{\backslash x}} -\frac{1}{x} ^{\color{blue}{\backslash y^2}}\right)+\left(\frac{y}{x^{2}} ^{\color{blue}{\backslash y}} -\frac{1}{y} ^{\color{blue}{\backslash x^2}} \right) =\)

\(=\frac{x^{2}-y^{2}}{xy^{2}}+\frac{y^{2}-x^{2}}{x^{2}y} =\)

\(=\frac{x^{2}-y^{2}}{xy^{2}}-\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}y} =\)

\(=(x^2-y^2)\!\left(\frac{1}{xy^{2}} ^{\color{blue}{\backslash x}}-\frac{1}{x^{2}y} ^{\color{blue}{\backslash y}}\right) =\)

\(=(x-y)(x+y)\cdot\frac{x-y}{x^2y^{2}} =\)

\(=\frac{(x-y)^{2}(x+y)}{x^{2}y^{2}}\ge 0 \) для любых \(x>0\) и \(y>0\)

Что и требовалось доказать.

б) \(\dfrac{x^{2}}{y}+\dfrac{y^{2}}{x}\ge x+y\), \(x>0\) и \(y>0\)

\(\dfrac{x^{2}}{y}+\dfrac{y^{2}}{x} - (x+y)=\)

\(=\dfrac{x^{2}}{y}^{\color{blue}{\backslash x}}+\dfrac{y^{2}}{x}^{\color{blue}{\backslash y}} - x^{\color{blue}{\backslash xy}}-y^{\color{blue}{\backslash xy}}=\)

\(=\dfrac{x^{3}+ y^3 -x^2y -xy^2}{xy} =\)

\(=\dfrac{(x^{3} -x^2y) -(xy^2 - y^3)}{xy} =\)

\(=\dfrac{x^2(x - y) - y^2(x - y)}{xy} =\)

\(=\dfrac{(x - y)(x^2 - y^2)}{xy} =\)

\(=\dfrac{(x - y)(x - y)(x+y)}{xy} =\)

\(=\dfrac{(x - y)^2(x+y)}{xy} \ge 0\) для любых \(x>0\) и \(y>0\)

Что и требовалось доказать.

Пояснения:

При доказательстве составляем разность левой и правой частей неравенства и показываем, что эта разность сохраняет знак при любых указанных значениях переменных.

Составив разности приводим дроби к общему знаменателю и выполняем преобразования. При этом помним:

- разности квадратов:

\(x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)\);

- квадрат любого числа всегда принимает неотрицательные значения;

- произведение положительных чисел является положительным числом.

а) \( \dfrac{^ {\color{blue}{1}} \cancel{12}x^{-5}}{y^{-6}} \cdot \dfrac{y}{_ {\color{blue}{3}} \cancel{36}x^{-9}} =\)

\(=\frac13x^{-5-(-9)}y^{1-(-6)}=\)

\(=\frac13x^{-5+9}y^{1+6}=\frac13x^4y^7.\)

б) \( \dfrac{^ {\color{blue}{9}} \cancel{63}a^{2}}{\cancel2b^{-5}} \cdot \dfrac{^ {\color{blue}{9}} \cancel{18}b^{2}}{\cancel{7}a} =\)

\(=81a^{2-1}b^{2-(-5)} =\)

\(=81ab^{2+5}=81ab^7.\)

в) \( \dfrac{5x^{-1}y^{3}}{\cancel3} \cdot \dfrac{^ {\color{blue}{3}} \cancel{9}x^{6}}{y^{-2}} =\)

\(=15x^{-1+6} \cdot y^{3-(-2)} =\)

\(=15x^{5}y^{3+2} = 15x^{5}y^{5}. \)

г) \( \dfrac{\cancel{16}p^{-1}q^{2}}{\cancel5} \cdot \dfrac{^ {\color{blue}{5}}\cancel{25}p^{6}}{_{\color{blue}{4}}\cancel{64}q^{-8}} =\)

\(= \frac54p^{-1+6} \cdot q^{2-(-8)} = \)

\(=1\dfrac{1}{4}p^{5}q^{2+8} = 1\dfrac{1}{4}p^{5}q^{10}. \)

Пояснения:

Используемые свойства степеней:

\( \frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m-n},\)

\(a^{m}\cdot a^{n} = a^{m+n}. \)