Упражнение 1004 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(a^{2}+b^{2}+4 \ge 2(a+b+1)\)

\( a^{2}+b^{2}+4 - 2(a+b+1) = \)

\( =a^{2}+b^{2}+4 - 2a-2b-2 = \)

\( =a^{2}+b^{2} - 2a-2b+2 = \)

\(=(a^{2}-2a + 1) + (b^{2}-2b + 1) =\)

\(=(a-1)^{2} + (b-1)^{2} \ge 0\) при любых \(a\) и \(b\).

Что и требовалось доказать.

б) \(4a^{2}+b^{2} > 4(a+b-2)\)

\( 4a^{2}+b^{2}-4(a+b-2) =\)

\(=4a^2 + b^2 -4a -4b +8 =\)

\(=4a^{2}-4a + b^{2}-4b + 8 =\)

\(=(4a^{2}-4a + 1) + (b^{2}-4b + 4) + 3 =\)

\(= (2a - 1)^2 + (b - 2)^2 + 3 > 0\) при любых \(a\) и \(b\).

Что и требовалось доказать.

Пояснения:

При доказательстве составляем разность левой и правой частей неравенства и показываем, что эта разность сохраняет знак при любых указанных значениях переменных.

Составив разность, раскрываем скобки, используя распределительное свойство умножения, и выделяем в этой разности квадраты двучленов, которые при любых значениях переменных принимают неотрицательные значения.

а) \( 0{,}0001x^{-4} = 0,1^4x^{-4} =\)

\(=10^{-4}x^{-4} = (10x)^{-4}. \)

б) \( 32y^{-5} = 2^{5}(y^{-1})^5 = (2y^{-1})^{5} \)

в) \( 0{,}0081a^{8}b^{-12} = 0{,}3^{4}(a^{2})^4(b^{-3})^4 =\)

\(=(0{,}3a^{2}b^{-3})^{4}. \)

г) \( 10^{n}x^{-2n}y^{3n} = (10x^{-2}y^{3})^{n}, \)

где \(n\) — целое число.

Пояснения:

Используемые свойства степеней:

\( a^{m}b^{m} = (ab)^{m}, \)

\((a^{m})^{n} = a^{mn}. \)