Упражнение 896 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\( \left(\frac{8x}{16 - 9x^2} + \frac{x}{3x - 4}\right) : \left(1 ^{\color{blue}{\backslash4+3x}} - \frac{4 - 3x}{4 + 3x}\right)=\)

\( =\left(\frac{8x}{(4-3x)(4+3x)} - \frac{x}{4-3x}^{\color{blue}{\backslash4+3x}}\right) : \frac{(4+3x)-(4 - 3x)}{4 + 3x}=\)

\(=\frac{8x - x(4+3x)}{(4-3x)(4+3x)} : \frac{4+3x-4 + 3x}{4 + 3x}=\)

\(=\frac{8x - 4x - 3x^2}{(4-3x)(4+3x)} : \frac{6x}{4 + 3x}=\)

\(=\frac{4x - 3x^2}{(4-3x)\cancel{(4+3x)}} \cdot \frac{\cancel{4+3x}}{6x}=\)

\(=\frac{\cancel x\cancel{(4 - 3x)}}{\cancel{(4-3x)}} \cdot \frac{1}{6\cancel x}=\frac16\)

Пояснения:

Основные используемые правила:

1) Порядок действий:

если в выражении есть скобки, то сначала выполняют действия в скобках, а затем за скобками.

2) Для сложения и вычитания дробей приводим их к общему знаменателю, умножая числитель и знаменатель каждой дроби на необходимые множители. При этом, при приведении дробей к общему знаменателю, если возможно, раскладываем на множители знаменатели складываемых или вычитаемых дробей. Затем, чтобы получить общий знаменатель, составляем произведение из всех множителей без повторений, входящих в знаменатели складываемых или вычитаемых дробей.

3) Деление дробей выполняется умножением на обратную дробь:

\(\frac{A}{B} : \frac{C}{D} = \frac{A}{B}\cdot\frac{D}{C}= \frac{A\cdot D}{B\cdot C}.\)

4) Вынос общего множителя:

\(\displaystyle p\,a+p\,b=p(a+b).\)

5) Разность квадратов:

\(\displaystyle x^2-y^2=(x-y)(x+y).\)

6) Свойство степени:

\((ab)^n = a^nb^n\).

\(x^2+2ax+a^2-4=0\)

 \(A=1,\; B=2a,\; C=a^2-4.\)

\(D=B^2-4AC=\)

\(=(2a)^2-4\cdot 1\cdot(a^2-4)=\)

\(=4a^2-4a^2+16=16 > 0\) - уравнение имеет 2 корня.

\(\sqrt D = 4\)

\( x_{1}= \frac{-2a + 4}{2} =\frac{\cancel2(-a + 2)}{\cancel2} =\)

\(=-a + 2. \)

\( x_{2}= \frac{-2a - 4}{2} =\frac{\cancel2(-a - 2)}{\cancel2} =\)

\(=-a - 2. \)

1) \(x_1 \in (-6;6)\)

\(-6 < -a + 2 < 6\)

\(\begin{cases} -a + 2 > -6,\\ -a + 2 < 6 \end{cases}\)

\(\begin{cases} -a > -6 - 2,\\ -a < 6 - 2 \end{cases}\)

\(\begin{cases} -a > -8, /\times(-1) \\ -a < 4 /\times(-1) \end{cases}\)

\(\begin{cases} a < 8, \\ a > -4 \end{cases}\)

\(a \in (-4; 8)\)

2) \(x_2 \in (-6;6)\)

\(-6 < -a - 2 < 6\)

\(\begin{cases} -a - 2 > -6,\\ -a - 2 < 6 \end{cases}\)

\(\begin{cases} -a > -6 + 2,\\ -a < 6 + 2 \end{cases}\)

\(\begin{cases} -a > --4, /\times(-1) \\ -a < 8 /\times(-1) \end{cases}\)

\(\begin{cases} a < 4, \\ a > -8 \end{cases}\)

\(a \in (-8; 4)\)

3)

\((-4; 8) \cap (-8; 4) = (-4; 4)\)

Ответ: \(a \in (-4; 4\).

Пояснения:

При решении учитываем то, что квадратное уравнение

\(Ax^2 + Bx + C=0\) имеет два корня в том случае, когда дискриминант

\(D = B^2-4AC > 0\), и тогда корни уравнения:

\(x_{1,2} =\frac{-B \pm \sqrt D}{2A}\).

По условию корни уравнения должны принадлежать промежутку \((-6; 6)\). Поэтому, найдя корни уравнения \(x_1\) и \(x_2\), мы рассматриваем два двойных неравенства относительно \(a\) и находим пересечение решений этих неравенств.

Двойное неравенство удобно раскладывать на систему из двух простых неравенств:

1) средняя часть больше левой части;

2) средняя часть меньше правой.

Чтобы решить систему неравенств, нужно найти пересечение решений неравенств системы, то есть найти множество чисел, которое является одновременно решением и одного неравенства и решением другого неравенства. Если решения неравенств не пересекаются, то система решений не имеет.

При решении неравенств системы используем то, что:

- если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным знаком, то получится равносильное ему неравенство;

- если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится равносильное ему неравенство.

- если обе части неравенства разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится равносильное ему неравенство.

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.

Если знак неравенства нестрогий (\(\geq\)  или \(\leq\)), то точку на координатной прямой делаем закрашенной, а при записи промежутка используем квадратную скобку.