Упражнение 901 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\(A = \{1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, \dots\}\).

\(B = \{1, 8, 27, 64, 125, 216, \dots\}\).

а) \(A \cap B = \{1, 64, \dots\}\).

\(1\) - принадлежит пересечению.

\(4\) — не принадлежит пересечению.

\(64\) — принадлежит пересечению.

б) \(A \cup B = \{1, 4, 8, 9, 16, 25, 27, \dots\}\).

\(16\) — принадлежит объединению.

\(27\) — принадлежит объединению.

\(64\) — принадлежит объединению.

Пояснения:

Пересечение множеств (\(\cap\)) — элементы, которые встречаются и в \(A\), и в \(B\). Объединение множеств (\(\cup\)) — все элементы, которые встречаются хотя бы в одном из множеств.

а) \(\dfrac{\sqrt{12-25x}}{6}\)

\(12-25x \ge 0 \)

\(-25x \ge -12 \)   \(/ : (-25)\)

\(x \le \dfrac{12}{25}\)

Ответ: \(x \in (-\infty; \dfrac{12}{25}].\)

б) \(\dfrac{1}{\sqrt{5x-11}}\)

\(5x-11 > 0 \)

\(5x > 11 \)   \( / : 5\)

\(x > \dfrac{11}{5}\)

\(x > 2,2\)

Ответ: \(x \in (2,2; +\infty).\)

в) \(\dfrac{4x}{\sqrt{(3x-2)^2}}\)

\(\sqrt{(3x-2)^2} = |3x-2|\).

\(3x-2 \ne 0 \)

\(3x \ne 2 \)

\(x \ne \dfrac{2}{3}.\)

Ответ: \(x \) - любое число, кроме \(\dfrac{2}{3}.\)

Пояснения:

Для выражений с квадратным корнем необходимо, чтобы подкоренное выражение было \(\ge 0\), если корень в числителе, и строго \(>0\), если корень в знаменателе.

При решении неравенств системы используем то, что:

- если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным знаком, то получится равносильное ему неравенство;

- если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится равносильное ему неравенство.

- если обе части неравенства разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится равносильное ему неравенство.

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.

Если знак неравенства нестрогий (\(\geq\)  или \(\leq\)), то точку на координатной прямой делаем закрашенной, а при записи промежутка используем квадратную скобку.

У \(-\infty\) и \(+\infty\) при записи промежутка скобка всегда круглая.

В пункте а) подкоренное выражение \(12-25x \ge 0\), так как оно стоит в числителе, поэтому получаем ограничение \(x \le \tfrac{12}{25}\).

В пункте б) подкоренное выражение стоит в знаменателе, поэтому \(5x-11 > 0 \), откуда получаем ограничение \(x > 2,2\).

В пункте в) в знаменателе стоит \(\sqrt{(3x-2)^2} = |3x-2|\), что всегда \(\ge 0\). Нужно исключить только случай равенства нулю: \(x \ne \tfrac{2}{3}\).