Упражнение 718 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \( -x^2-2x+168>0 \)

\( -x^2-2x+168=0 \)    \(/\times(-1)\)

\(x^2+2x-168=0 \)

\(a = 1\),  \(b = 2\),  \(c = -168\)

\(D=b^2 - 4ac=\)

\(=2^2-4\cdot1\cdot(-168)=\)

\(=4+672=676\),   \(\sqrt{D}=26 \)

\(x=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a}\)

\( x_1=\frac{-2+26}{2\cdot1}=\frac{24}{2} = 12\)

\( x_2=\frac{-2-26}{2\cdot1}=\frac{-28}{2} = -14\)

\( -x^2-2x+168=-(x-12)(x+14) \)

\(-(x-12)(x+14)>0 \)

1) \( \begin{cases} x-12>0, \\ x+14<0\end{cases} \)

 \( \begin{cases} x>12, \\ x<-14\end{cases} \) - решений нет.

2) \( \begin{cases} x-12<0, \\ x+14>0\end{cases} \)

 \( \begin{cases} x<12, \\ x>-14\end{cases} \)

\(-14 < x < 12\)

Ответ: при \(-14 < x < 12\).

б) \( 15x^2+x-2<0 \)

\( 15x^2+x-2=0 \)

\(a = 15\),  \(b = 1\),  \(c = -2\)

\(D=b^2 - 4ac=1^2-4\cdot15\cdot(-2)=\)

\(=1+120=121\),   \( \sqrt{D}=11 \)

\(x=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a}\)

\( x_1=\frac{-1+11}{2\cdot15}=\frac{10}{30} = \frac13\)

\( x_2=\frac{-1-11}{2\cdot15}=\frac{-12}{30} = -\frac25\)

\( 15x^2+x-2=15(x-\frac13)(x+\frac25)\)

\(15(x-\frac13)(x+\frac25)<0\)

1) \( \begin{cases} x-\frac13>0, \\ x+\frac25<0\end{cases} \)

 \( \begin{cases} x>\frac13, \\ x<-\frac25\end{cases} \) - решений нет.

2) \( \begin{cases} x-\frac13<0, \\ x+\frac25>0\end{cases} \)

\( \begin{cases} x<\frac13, \\ x>-\frac25\end{cases} \)

\(-\frac25 < x < \frac13\)

Ответ: при \(-\frac25 < x < \frac13\).

в) \(\dfrac{x+14}{3-2x}<0\)

ОДЗ: \(3-2x \neq 0\)

          \(2x\neq3\)

          \(x \neq \frac32\)

          \(x \neq1,5\)

1) \( \begin{cases} x+14>0, \\ 3-2x<0\end{cases} \)

\( \begin{cases} x>-14, \\ 2x>3\end{cases} \)

\( \begin{cases} x>-14, \\ x>\frac32 \end{cases} \)

\( \begin{cases} x>-14, \\ x>1,5 \end{cases} \)

\(x > 1,5\)

2) \( \begin{cases} x+14<0, \\ 3-2x>0\end{cases} \)

\( \begin{cases} x<-14, \\ 2x<3\end{cases} \)

\( \begin{cases} x<-14, \\ x<\frac32\end{cases} \)

\( \begin{cases} x<-14, \\ x<1,5\end{cases} \)

\(x<-14\)

Ответ: \(x<-14\) или \(x>1,5\).

г) \(\dfrac{6-5x}{x+25}>0\)

ОДЗ: \(x + 25 \neq 0\)

          \(x\neq-25\)

1) \( \begin{cases} 6-5x>0, \\ x+25>0\end{cases} \)

\( \begin{cases} 5x<6, \\ x>-25\end{cases} \)

\( \begin{cases} x<\frac65, \\ x>-25\end{cases} \)

\( \begin{cases} x<1,2, \\ x>-25\end{cases} \)

\(-25 < x < 1,2\)

2) \( \begin{cases} 6-5x<0, \\ x+25<0\end{cases} \)

\( \begin{cases} 5x>6, \\ x< -25\end{cases} \)

\( \begin{cases} x>\frac65, \\ x< -25\end{cases} \)

\( \begin{cases} x>1,2, \\ x< -25\end{cases} \) - решений нет.

Ответ: при \(-25 < x < 1,2\).

Пояснения:

В пунктах а) и б) квадратный трехчлен разложили на множители согласно формуле:

\(ax^2 +bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)\),

где \(x_1\) и \(x_2\) корни трехчлена

\(ax^2 +bx + c\).

Затем учли то, что произведение отрицательно, если в нем нечетное количество отрицательных множителей, и произведение положительно, если в нем четное количество отрицательных множителей.

В пунктах в) и г) сначала определили значения, при которых дробь не имеет смысла (ОДЗ). Затем учли то, что значение дроби отрицательно, если ее числитель и знаменатель имеют разные знаки, и значение дроби положительно, если ее числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки.

Составим уравнение:

\(\frac{x-6}{x}\cdot100 - \frac{x-6}{x + 13}\cdot100=26\)  \(/\times x(x+13)\)

ОДЗ: \(x\neq0\)   и   \(x + 13\neq 0\)

                            \(x\neq-13\)

\(100(x-6)(x+13) - 100x(x-6)=26x(x+13)\)

\(100(x^2+13x -6x-78) - 100x^2 + 600 x = 26x^2 + 338x\)

\(\cancel{100x^2} + 1300x - \cancel{600x} - 7800 - \cancel{100x^2} + \cancel{600x} -26x^2 -338x = 0\)

\(-26x^2 + 962x - 7800 = 0\) \(/ : (-26)\)

\(x^2 - 37x + 300 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = -37\),  \(c = 300\)

\(D = b^2 - 4ac =\)

\(=(-37)^2 - 4\cdot 1 \cdot 300 =\)

\(=1369 - 1200 = 169\),    \(\sqrt D = 13\).

\(x_1 = \frac{-(-37) + 13}{2\cdot1} = \frac{50}{2} = 25\).

\(x_2 = \frac{-(-37) - 13}{2\cdot1} = \frac{24}{2} = 12\).

Ответ: первоначальная масса сплава могла быть \(12\) кг или \(25\) кг.

Пояснения:

Обозначили массу сплава за \(x\). Выразили долю меди до добавления цинка и после. Учитывая условие о том, что доля меди уменьшилась на 26%, составили дробное рациональное уравнение:

\(\frac{x-6}{x}\cdot100 - \frac{x-6}{x + 13}\cdot100=26\) 

Алгоритм решения дробного рационального уравнений:

1) найти ОДЗ (область допустимых значений), то есть те значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль;

2) найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;

3) умножить обе части уравнения на общий знаменатель;

4) решить получившееся целое уравнение;

5) исключить из его корней те, которые совпадают с ОДЗ.

После того как обе части уравнения домножили на общий знаменатель и выполнили преобразования, получили квадратное уравнение, у которого дискриминант \(D = b^2 - 4ac>0\), поэтому уравнение имеет два корня: \(25\) и \(12\). Оба корня удовлетворяют условию задачи. Значит, первоначальная масса сплава могла быть \(12\) кг или \(25\) кг.