Упражнение 713 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\( \begin{cases} x-y=4, \\ y=x^2-5x+5 \end{cases} \)

\( \begin{cases} y=x-4, \\ x-4=x^2-5x+5 \end{cases} \)

\( x-4=x^2-5x+5 \)

\(x^2 -5x-x+5+4=0\)

\(x^2 -6x+9=0\)

\(a = 1\),  \(b = -6\),  \(c=9\)

\(D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4\cdot1\cdot9=\)

\(= 36 - 36 = 0\).

\(x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2\cdot1} = \frac62 = 3\)

\( y=3-4=-1 \)

\((3;-1)\) - общая точка прямой

\(x-y=4\) и параболы

\(y = x^2 -5x+5\).

Пояснения:

Чтобы найти координаты точек пересечения графиков функций без их построения, нужно решить систему из двух уравнений, соответствующих этим функциям.

При решении системы использовали метод подстановки:

1) выражают из уравнения первой степени одну переменную через другую;

2) подставляют полученное выражение в уравнение второй степени, в результате чего приходят к уравнению с одной переменной;

3) решают получившиеся уравнение с одной переменной;

4) находят соответствующие значения второй переменной.

После подстановки и преобразований получили полное квадратное уравнение вида

\(ax^2 + bx + c = 0\) с дискриминантом \(D = b^2 - 4ac =0\), которое имеет один корень:

\(x= -\frac{b}{2a}\).

\(15 \;мин = \frac{15}{60} \; ч = \frac14\;ч\)

Составим уравнение:

\(\frac{36}{x} + \frac{5x - 36}{x+3} + \frac14= 5\)   \(/\times 4x(x+3)\)

ОДЗ: \(x\neq0\)   и   \(x + 3\neq 0\)

                            \(x\neq-3\)

\(144(x + 3) + 4x(5x - 36) + x(x+3) = 20x(x+3)\)

\(\cancel{144x} + 432 + 20x^2 -\cancel{144x} + x^2 + 3x = 20x^2 + 60x\)

\(432 + \cancel{20x^2} + x^2 + 3x - \cancel{20x^2} - 60x = 0\)

\(x^2 -57x +432 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = -57\),  \(c = 432\)

\(D =b^2 - 4ac= \)

\(=57^2 - 4 \cdot1\cdot 432 = \)

\(=3249 - 1728 = 1521\),

\(\sqrt{D} = 39\).

\(x_1 = \frac{-(-57) + 39}{2\cdot1} = \frac{96}{2} = 48\).

\(x_2 = \frac{-(-57) - 39}{2\cdot1} = \frac{18}{2} = 9\).

Ответ: мотоциклист ехал первоначально со скоростью \(9\) км/ч или \(48\) км/ч.

Пояснения:

В задаче использовались формулы:

- Формула пути: \[S = v \cdot t\]

- Формула времени: \[t = \frac{S}{v}\]

Первоначальную скорость мотоциклиста обозначили \(x\) км/ч. Тогда расстояние между пунктами \(M\) и \(N\) равно \(5x\) км.

На обратном пути выделили два участка: первые 36 км со скоростью \(x\), остальные со скоростью \(x+3\).

Составили дробное рациональное  уравнение, учитывая то, что на обратный путь мотоциклист затратил на \(15\) мин меньше, чем на путь из пункта \(M\) в пункт \(N\):

\(\frac{36}{x} + \frac{5x - 36}{x+3} + \frac14= 5\).

Алгоритм решения дробного рационального уравнений:

1) найти ОДЗ (область допустимых значений), то есть те значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль;

2) найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;

3) умножить обе части уравнения на общий знаменатель;

4) решить получившееся целое уравнение;

5) исключить из его корней те, которые совпадают с ОДЗ.

После того как обе части уравнения домножили на общий знаменатель и выполнили преобразования, получили квадратное уравнение, у которого дискриминант \(D = b^2 - 4ac>0\), поэтому уравнение имеет два корня: \(48\) и \(9\). Оба корня удовлетворяют условию задачи. Значит, мотоциклист ехал первоначально со скоростью \(9\) км/ч или \(48\) км/ч.