Упражнение 675 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(3x+0y=12\)

\(3x=12\)

\(x=4\)

б) \(0x+y=1\)

\(y=1\)

в) \(x=5\)

г) \(y=1{,}5\)

д) \((x-2)(y-3)=0\)

\(x - 2 = 0\)   или   \(y - 3 = 0\)

\(x=2\)                   \( y=3\)

е) \((x+3)(y+1)=0\)

\(x+3 = 0\)   или   \(y + 1 = 0\)

\(x=-3\)                \( y=-1\)

ж) \(|x|=2\)

\(x=2\) или \( x=-2\)

з) \(|y|=3\)

\(y=3\) или \( y=-3\)

Пояснения:

\(x = a\) - прямая, параллельная оси \(y\) и проходящая через точку с координатами \((a; 0)\).

\(y = b\) - прямая, параллельная оси \(x\) и проходящая через точку с координатами \((0; b)\).

Если в уравнении стоит произведение двух множителей и оно равно нулю, \((f(x,y)\cdot g(x,y)=0)\), то график — объединение графиков \(f(x,y)=0\) и \(g(x,y)=0\).

Равенства \(|x|=a\ (a>0)\) и \(|y|=a\) задают пары параллельных прямых: \(|x|=a\) соответствует \(x=a\) и \(x=-a\) (две вертикальные), а \(|y|=a\) соответствует \(y=a\) и \(y=-a\) (две горизонтальные).

\(ax^2 + bx + c = 0\)

\(a + b + c=0\)

\(b = - a-c \)

\(b= -(a+c)\)

\(ax^2 - (a+c)x + c = 0\)

\(D = b^2 - 4ac = \)

\(=(-(a + c))^2 - 4ac =\)

\(=a^2 + 2ac + c^2 - 4ac =\)

\(=a^2 -2ac +c^2 = (a-c)^2 \ge0\) 

1 случай

Если \(a = c\), то \(D = 0\) и уравнение имеет один корень.

\(x = -\frac{-(a+c)}{2\cdot a} = \frac{с+c}{2\cdot с}=\frac{2c}{2c} = 1\).

2 случай

Если \(a \neq c\), то \(D > 0\) и уравнение имеет два корня.

\(x_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt D}{2a}\)

1) Если \(a > c\), то

\(\sqrt D = \sqrt{(a - c)^2}= |a-c| = a-c\)

\(x_{1} = \frac{(a+c) + (a-c) }{2a} =\)

\(=\frac{a+c + a-c }{2a} = \frac{2a}{2a} = 1 \)

\(x_{2} = \frac{(a+c) - (a-c) }{2a} =\)

\(=\frac{a+c - a+c }{2a} = \frac{2c}{2a} = \frac{c}{a} \)

2) Если \(a < c\), то

\(\sqrt D = \sqrt{(a - c)^2}= |a-c| = c-a\)

\(x_{1} = \frac{(a+c) + (c-a) }{2a} =\)

\(=\frac{a+c +c-a }{2a} = \frac{2c}{2a} = \frac{c}{a} \)

\(x_{2} = \frac{(a+c) - (c-a) }{2a} =\)

\(=\frac{a+c - c+a }{2a} = \frac{2a}{2a} = 1 \)

Что и требовалось доказать.

а) \(2x^2 - 41x + 39 = 0\).

\(a = 2\),  \(b = -41\),  \(c = 39\)

\(2 - 41 + 39 = 0\), поэтому \(x_1 = 1\).

\( x_2 = \frac{c}{a} = \frac{39}{2} = 19,5\)

Ответ: \(x_1 = 1, \; x_2 = 19,5.\)

б) \(17x^2 + 243x - 260 = 0\)

\(a = 17\),  \(b = 243\),  \(c = -260\)

\(17 + 243 - 260 = 0\), поэтому \(x_1 = 1\).

\( x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-260}{17} =-15\frac{5}{17}\)

Ответ: \(x_1 = 1, \; x_2 = -15\frac{5}{17}.\)

Пояснения:

В задаче используется полезное: если сумма коэффициентов квадратного уравнения равна нулю, то корень \(x=1\). Это следует из того, что при подстановке \(x=1\) уравнение обращается в тождество.

Из доказательства данного свойства следует то, что один из корней равен единице, а другой равен отношению коэффициентов \(c\) и \(a\), то есть \(x_1 = 1\) и \( x_2 = \frac{c}{a}\).