Упражнение 676 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\( x^{2}-y^{2}=0\)

\((x-y)(x+y)=0 \)

\(x-y=0 \)  или  \(x+y=0\)

\(y=x\)                 \(y=-x\).

Поэтому, графиком уравнения

\(\;x^{2}-y^{2}=0\;\) является пара прямых

\(y=x\) и \(y=-x\).

Пояснения:

Использована формула разности квадратов:

\( a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b). \)

Применяя её к \(\;x^{2}-y^{2}\), получаем произведение двух линейных множителей \((x-y)\) и \((x+y)\).

Если произведение двух выражений равно нулю, то хотя бы один множитель равен нулю:

\( (x-y)(x+y)=0\), то

\(x-y=0 \)  или  \(x+y=0\).

Каждое из этих линейных уравнений задаёт прямую на координатной плоскости:

\(x-y=0\) — это прямая \(y=x\),

\(x+y=0\) — это прямая \(y=-x\).

Поэтому, графиком уравнения

\(\;x^{2}-y^{2}=0\;\) является пара прямых

\(y=x\) и \(y=-x\).

\[3x^2 + bx + 10 = 0\]

\(a =3\),  \(b - ?\),  \(c = 10\)

Пусть корни уравнения равны \(x_1\) и \(x_2\).

\[ x_1 - x_2 = 4 \frac{1}{3} = \frac{13}{3}. \]

По теореме Виета: \[ x_1 + x_2 = -\frac{b}{3}, \quad x_1 \cdot x_2 = \frac{10}{3}. \]

Составим систему:

\( \begin{cases} x_1 - x_2 = \tfrac{13}{3} \\ x_1 \cdot x_2 = \frac{10}{3} \end{cases} \)

\( \begin{cases} x_1 = \tfrac{13}{3} + x_2 \\ (\tfrac{13}{3} + x_2) \cdot x_2 = \frac{10}{3} \end{cases} \)

\((\frac{13}{3} + x_2) \cdot x_2 = \frac{10}{3}\)

\(\frac{13}{3}x_2 + x_2^2 - \frac{10}{3} = 0\)   \(/\times3\)

\(13x_2 + 3x_2^2 - 10 = 0\)

\(3x_2^2 + 13x_2 - 10=0\)

\(a = 3\),  \(b = 13\),  \(c = -10\)

\(D= b^2 - 4ac = \)

\(=13^2 - 4\cdot3\cdot(-10)=\)

\(=169 +120 = 289\),   \(\sqrt D = 17\).

\(x_{2(1,2)} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a} \)

\(x_{2(1)} = \frac{-13 + 17}{2\cdot3} =\frac{4}{6} = \frac23 \)

\(x_{2(2)} = \frac{-13 - 17}{2\cdot3} =\frac{-30}{6} = -5 \)

Если \(x_2 = \frac23\), то

\(x_1 = \frac{13}{3} + \frac23 = \frac{15}{3} = 5\)

Если \(x_2 = -5\), то

\(x_1 = \frac{13}{3} - 5 = 4\frac{1}{3} - 5 = -\frac23\)

\(x_1 + x_2 = -\frac{b}{3}\)   \(/\times 3\)

\(3x_1 + 3x_2 = -b\)

Если \(x_1 = 5\),  \(x_2 = \frac23\), то

\(3\cdot5 + \cancel3\cdot\frac{2}{\cancel3} = -b\)

\(15 + 2 = -b\)

\(17 = -b\)

\(b = -17\)

2) Если \(x_1 = -\frac23\),  \(x_2 = -5\), то

\(\cancel3\cdot(-\frac{2}{\cancel3}) + 3\cdot(-5) = -b\)

\(-2 -15 = -b\)

\(-17 =b\)

\(b = 17\)

Ответ: \(b = -17\) или \(b = 17\)

Пояснения:

Использовали теорему Виета: \[ x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, \quad x_1 x_2 = \frac{c}{a}. \]

Добавили третье условие о разности корней и составили систему. Решив систему методом сложения, нашли две пары значений \(x_1\) и \(x_2\).

Из равенства \(x_1 + x_2 = -\frac{b}{3}\), подставляя найденные значения \(x_1\) и \(x_2\), нашли два значения \(b\):

\(b = -17\) или \(b = 17\).