Упражнение 678 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

График - убывающая прямая, точки пересечения с осями \((0;6)\) и \((3;0)\).

1) \(x-y=-7\)

\(y = x+7\) - возрастающая прямая.

2) \(x-y=4\)

\(y = x+4\)- возрастающая прямая.

3) \(2x+y=6\)

\(y = -2x + 6\) - убывающая прямая.

\((0; 6)\) - точка пересечения с осью \(y\).

Если \(y = 0\), то

\(-2x + 6 = 0\)

\(-2x = -6\)

\(x = \frac{-6}{-2}\)

\(x = 3\)

\((3; 0)\) - точка пересечения с осью \(x\).

\(x+y=5\)

\(y = -x + 5\) - убывающая прямая.

\((0; 5)\) - точка пересечения с осью \(y\).

Пояснения:

Прямая задана в виде \(y=kx+b\), где \(b\) — ордината пересечения с осью \(Oy\) (по графику \(b=6\)), а \(k\) — угловой коэффициент (наклон).

Если \(k>0\) - прямая возрастающая,

если \(k<0\) - прямая убывающая,

если \(k = 0\) - прямая, параллельная оси \(x\).

\[4x^2 + bx - 27 = 0\]

\(a =3\),  \(b - ?\),  \(c = 10\)

Пусть корни уравнения \(x_1\) и \(x_2\).

\( \frac{x_1}{x_2} = -3\), тогда \(x_1 = -3x_2\).

По теореме Виета:

\( x_1 + x_2 = -\frac{b}{4}, \quad x_1 \cdot x_2 = \frac{-27}{4}. \)

Составим систему уравнений:

\( \begin{cases} -3x_2 + x_2 = -\tfrac{b}{4} \\ -3x_2 \cdot x_2 = \frac{-27}{4} \end{cases} \)

\( \begin{cases} -2x_2 = -\tfrac{b}{4}     /\times4 \\ -3x_2^2= \frac{-27}{4}   /\times4 \end{cases} \)

\( \begin{cases} -8x_2 = -b \\ -12x_2^2= -27 \end{cases} \)

\( \begin{cases} b=8x_2 \\ x_2^2 =\frac{-27}{-12} \end{cases} \)

\( \begin{cases} b=8x_2 \\ x_2^2 =\frac{9}{4} \end{cases} \)

\( \begin{cases} b=8x_2 \\ x_2 =\pm\sqrt{\frac{9}{4}} \end{cases} \)

\( \begin{cases} b=8x_2 \\ x_2 =\pm\frac{3}{2} \end{cases} \)

Если \(x_2 =\frac{3}{2}\), то

\(b=-^4\cancel8\cdot\frac{3}{\cancel2} =-12 \)

Если \(x_2 =-\frac{3}{2}\), то

\(b=-^4\cancel8\cdot(-\frac{3}{\cancel2}) =12 \)

Ответ: \(b = -12\) или \(b = 12.\)

Пояснения:

Мы использовали теорему Виета: \[ x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, \quad x_1 x_2 = \frac{c}{a}. \]

Так как частное корней равно \(-3\), получили зависимость \(x_1 = -3x_2\). Учитывая это, составили систему уравнения и решили ее способом подстановки. Нашли два возможных значения коэффициента \(b\): \(12\) и \(-12\).