Упражнение 660 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

Пусть скорость течения реки \(x\) км/ч.

Составим уравнение:

\( \frac{36}{20-x}+\frac{22}{20+x}=3 \)  \(/\times (20+x)(20-x)\)

ОДЗ: \(20 + x \neq0\)  и  \( 20 - x \neq0\)

          \(x\neq-20\)          \(x \neq 20\)

\(36(20+x)+22(20-x) = 3(20+x)(20-x)\)

\(720 + 36x +440-22x = 3(400 - x^2)\)

\(1160 +14x=1200 - 3x^2\)

\(3x^2 +14x +1160-1200=0\)

\(3x^2 +14x -40=0\)

\(a = 3\),  \(b = 14\),  \(c = -40\)

\(D = b^2 - 4ac =\)

\(=14^2 -4\cdot3\cdot(-40) =\)

\(=196 +480 = 676\),   \(\sqrt D = 26\).

\( x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\).

\( x_1 = \frac{-14+26}{2\cdot3}=\frac{12}{6}=2\).

\( x_2 = \frac{-14-26}{2\cdot3}=-\frac{40}{6}\) - не удовлетворяет условию.

Ответ: скорость течения реки \(2\) км/ч.

Пояснения:

Чтобы найти время, нужно расстояние разделить на скорость.

Если скорость течения равна \(x\) км/ч, то скорость по течению - \(20+x\) км/ч, а против течения -  \(20-x\) км/ч. Тогда время по течению \(\frac{22}{20+x}\), а против течения \(\frac{36}{20-x}\). На весь пути затратили \(3\) ч, значит, получаем следующее дробное рациональное уравнение:

\(\frac{36}{20-v}+\frac{22}{20+v}=3. \)

Алгоритм решения дробного рационального уравнений:

1) найти ОДЗ (область допустимых значений), то есть те значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль;

2) найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;

3) умножить обе части уравнения на общий знаменатель;

4) решить получившееся целое уравнение;

5) исключить из его корней те, которые совпадают с ОДЗ.

После того как обе части уравнения домножили на общий знаменатель и выполнили преобразования, получили полное квадратное уравнение

\(3x^2 +14x -40=0\), у которого дискриминант больше нуля, следовательно, имеем два корня уравнения:

\(x_1 = 2\) и \(x_2 = -\frac{40}{6}\).

Отрицательный корень не подходит, так как скорость не может быть отрицательным числом.

Значит, скорость течения реки равна \(2\) км/ч.

Пусть пять последовательных целых чисел:

\( x-2,\; x-1,\; x,\; x+1,\; x+2 \)

Составим уравнение:

\( (x-2)^2+(x-1)^2+x^2=(x+1)^2+(x+2)^2 \)

\(x^2-4x+4+x^2-2x+1+x^2=x^2+2x+1+x^2+4x+4\)

\( 3x^2-6x+5=2x^2+6x+5 \)

\( 3x^2-6x+5-2x^2-6x-5=0 \)

\( x^2-12x=0 \)

\( x(x-12)=0 \)

\( x=0 \)   или   \(x - 12 = 0\)

                      \( x=12 \)

1) Если \(x=0\), то

\(x - 2 = 0 - 2 = -2\).

\(x - 1 = 0 -1 = -1\).

\(x + 1 = 0+1=1\)

\(x + 2 = 0 + 2 = 2\).

2) Если \(x = 12\), то

\(x - 2 = 12 - 2 = 10\).

\(x - 1 = 12 - 1 = 11\).

\(x +1 = 12 + 1 = 13\).

\(x + 2 = 12 + 2 = 14\).

Ответ: числа \(-2; -1; 0; 1; 2\) или числа \(10; 11; 12; 13; 14\).

Пояснения:

Вводим обозначения для пяти последовательных целых чисел и составляем уравнение. Раскрываем скобки по формулам квадрата суммы и квадрата разности:

\((a +b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\);

\((a -b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).

Затем приводим подобные и получаем неполное квадратное уравнение, которое решается разложением на множители, учитывая то, что произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.