Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№658 учебника 2023-2025 (стр. 153):
Турист проплыл против течения реки \(6\) км и по озеру \(15\) км, затратив на путь по озеру на \(1\) ч больше, чем на путь по реке. Зная, что скорость течения реки равна \(2\) км/ч, найдите скорость лодки при движении по озеру.
№658 учебника 2013-2022 (стр. 152):
Выясните, при каких значениях переменной:
а) трёхчлен \(a^2+7a+6\) и двучлен \(a+1\) принимают равные значения;
б) трёхчлены \(3x^2-x+1\) и \(2x^2+5x-4\) принимают равные значения.
Найдите эти значения.
№658 учебника 2023-2025 (стр. 153):
Вспомните.
№658 учебника 2013-2022 (стр. 152):
Вспомните.
№658 учебника 2023-2025 (стр. 153):
| Расстояние, км | Скорость, км/ч | Время, ч | |
| По озеру | \(15\) | \(x\) | \(\frac{15}{x}\) |
| По реке | \(6\) | \(x - 2\) | \(\frac{6}{x-2}\) |
Составим уравнение:
\(\frac{15}{x}-\frac{6}{x-2}=1\) \(/\times x(x-2)\)
ОДЗ: \(x \neq0\) и \( x - 2 \neq0\)
\(x \neq 2\)
\(15(x-2)-6x=x(x-2)\)
\(15x-30-6x=x^2-2x\)
\(9x-30=x^2-2x\)
\(x^2-2x-9x+30=0\)
\(x^{2}-11x+30=0\)
\(a = 1\), \(b = -11\), \(c = 30\)
\(D = b^2 - 4ac =\)
\(=(-11)2 - 4\cdot1\cdot30 =\)
\(=121 - 120 = 1\), \(\sqrt D = 1\).
\( x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\).
\( x_1 = \frac{-(-11)+1}{2\cdot1}=\frac{12}{2}=6\).
\( x_1 = \frac{-(-11)-1}{2\cdot1}=\frac{10}{2}=5\).
Ответ: скорость лодки при движении по озеру 5 км/ч или 6 км/ч.
Пояснения:
Использовано \(t=\dfrac{S}{v}\). На озере скорость лодки равна собственной \(x\); против течения скорость относительно берега уменьшается: \(x-2\). Время в пути по реке \(\displaystyle t_{\text{р}}=\frac{6}{x-2}\), по озеру \(\displaystyle t_{\text{о}}=\frac{15}{x}\). Условие «на озере на \(1\) ч больше» даёт дробное рациональное уравнение:
\(\dfrac{15}{x}-\dfrac{6}{x-2}=1\).
Алгоритм решения дробного рационального уравнений:
1) найти ОДЗ (область допустимых значений), то есть те значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль;
2) найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;
3) умножить обе части уравнения на общий знаменатель;
4) решить получившееся целое уравнение;
5) исключить из его корней те, которые совпадают с ОДЗ.
После того как обе части уравнения домножили на общий знаменатель и выполнили преобразования, получили полное квадратное уравнение
\(x^{2}-11x+30=0\), у которого дискриминант больше нуля, следовательно, имеем два корня уравнения:
\(x_1 = 6\) и \(x_2 = 5\).
Оба корня удовлетворяют условиям задачи, значит, скорость лодки при движении по озеру может быть 5 км/ч или 6 км/ч.
№658 учебника 2013-2022 (стр. 152):
а) \( a^2+7a+6=a+1 \)
\( a^2+7a+6-a-1=0 \)
\( a^2+6a+5=0 \)
\(a = 1\), \(b = 6\), \(c = 5\)
\( D=b^2 - 4ac=6^2 -4\cdot1\cdot5 =\)
\(=36 - 20 = 16\), \(\sqrt D = 4\).
\(a_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt D}{2a}\)
\(a_1 = \frac{-6 + 4}{2\cdot1} = \frac{-2}{2} = -1\).
\(a_2 = \frac{-6 - 4}{2\cdot1} = \frac{-10}{2} = -5\).
Ответ: при \(a=-1\) и \(a=-5\).
б) \( 3x^2-x+1=2x^2+5x-4 \)
\( 3x^2-x+1-2x^2-5x+4=0 \)
\( x^2-6x+5=0 \)
\(a = 1\), \(b = -6\), \(c = 5\)
\( D=b^2 - 4ac=(-6)^2 - 4\cdot1\cdot5 =\)
\(=36 - 20 = 16\), \(\sqrt D = 4\).
\(x_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt D}{2a}\)
\(x_1 = \frac{-(-6) + 4}{2\cdot1} = \frac{10}{2} = 5\).
\(x_2 = \frac{-(-6) - 4}{2\cdot1} = \frac{2}{2} = 1\).
Ответ: при \(x=5\) и \(x=1\).
Пояснения:
В каждом случае по условию составляем уравнение, компоненты из правой части уравнения переносим в левую, изменив их знак на противоположный, в левой части уравнения приводим подобные, получаем полное квадратное уравнение.
Количество корней квадратного уравнения \(ax^2+bx+c=0\) зависит от дискриминанта. Формула дискриминанта:
\(D=b^2-4ac\).
– если \(D>0\), то уравнение имеет два корня:
\(x_1 =\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}\);
\(x_2 =\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}\).
Вернуться к содержанию учебника