Упражнение 656 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

Пусть обедало \(x\) человек, тогда каждый должен заплатить \(\dfrac{175}{x}\) шиллингов. Если двое не платят, платят \(x-2\) человек и каждый должен заплатить \(\dfrac{175}{x-2}\) шиллингов.

Составим уравнение:

\(\dfrac{175}{x-2}-\dfrac{175}{x}=10\) \(/\times x(x-2)\)

ОДЗ: \(x \neq0\)  и  \( x - 2 \neq0\)

                          \(x \neq 2\)

\(175x -175(x - 2) = 10x(x-2)\)

\(\cancel{175x} - \cancel{175x} + 350 = 10x^2 - 20x\)

\(10x^2 -20x - 350 = 0\)   \(/ : 10\)

\(x^2 -2x - 35 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = -2\),  \(c = -35\)

\(D = b^2 - 4ac =\)

\(=(-2)^2 - 4\cdot1\cdot(-35) = \)

\( = 4 + 140 = 144\),   \(\sqrt D = 12\).

\( x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\).

\( x_1 = \frac{-(-2)+12}{2\cdot1}=\frac{14}{2}=7\).

\( x_1 = \frac{-(-2)-12}{2\cdot1}=\frac{-10}{2}=-5\) - не удовлетворяет условию (\(x>0\)).

Ответ: обедало 7 человек.

---

Пояснения:

Чтобы узнать, сколько должен заплатить за обед каждый, нужно разделить общую сумму обеда на количество человек. По счёту за обед должны были уплатить 175 шиллингов, значит, если платить будут \(x\) человек, то каждый должен будет заплатить \(\dfrac{175}{x}\) шиллингов. Если двое не платят, платят \(x-2\) человек и каждый должен заплатить \(\dfrac{175}{x-2}\) шиллингов. Из-за того, что двое не могли оплатить обед, каждому пришлось уплатить на 10 шиллингов больше, чем приходилось на его долю. Получается, можем составить следующее дробное рациональное уравнение:

\( \frac{175}{x-2}-\frac{175}{x}=10. \)

Алгоритм решения дробного рационального уравнений:

1) найти ОДЗ (область допустимых значений), то есть те значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль;

2) найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;

3) умножить обе части уравнения на общий знаменатель;

4) решить получившееся целое уравнение;

5) исключить из его корней те, которые совпадают с ОДЗ.

После того как обе части уравнения домножили на общий знаменатель и выполнили преобразования, получили полное квадратное уравнение

\(x^2 -2x - 35 = 0\), у которого дискриминант больше нуля, следовательно, имеем два корня уравнения:

\(x_1 = 7\) и \(x_2 = -5\).

Отрицательный корень не подходит, так как количество человек не может быть отрицательным числом.

Значит, обедало 7 человек.

а) \(x^2-2x-5=0\)

\(a = 1\),  \(b = -2\),  \(c = -5\)

\( D=b^2 - 4ac=\)

\(=(-2)^2-4\cdot 1\cdot (-5)=\)

\(=4+20=24 \).

\(\sqrt D = \sqrt 24 = \sqrt{4\cdot 6} = 2\sqrt6\)

\(x_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt D}{2a}=\frac{2\pm 2\sqrt{6}}{2\cdot1}=\)

\(=\frac{\cancel2(1\pm \sqrt{6})}{\cancel2}=1\pm \sqrt{6} \).

Проверка:

Если \(x_1 = 1+ \sqrt{6} \), то

\((1+ \sqrt{6})^2 - 2\cdot(1+ \sqrt{6}) - 5 =0 \)

\(1 + 2\sqrt{6} + 6 - 2 - 2\sqrt{6} - 5 = 0\)

\(0 = 0\) - верно.

Если \(x_2 = 1- \sqrt{6} \), то

\((1- \sqrt{6})^2 - 2\cdot(1- \sqrt{6}) - 5 =0 \)

\(1 - 2\sqrt{6} + 6 - 2 + 2\sqrt{6} - 5 = 0\)

\(0 = 0\) - верно.

Ответ: \(1+ \sqrt{6} \);   \(1- \sqrt{6} \).

---

б) \(x^2+4x+1=0\)

\(a = 1\),  \(b = 4\),  \(c = 1\)

\( D=b^2 - 4ac=4^2 - 4\cdot1\cdot1=\)

\(=16-4=12 \).

\(\sqrt D = \sqrt 12 = \sqrt{4\cdot 3} = 2\sqrt3\)

\(x_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt D}{2a}=\frac{-4\pm 2\sqrt{3}}{2\cdot1}=\)

\(=\frac{\cancel2(-2\pm \sqrt{3})}{\cancel2}=-2\pm \sqrt{3} \)

Проверка:

Если \(x_1 = -2 + \sqrt{3} = \sqrt3 - 2 \), то

\(( \sqrt3 - 2)^2 + 4\cdot( \sqrt3 - 2) + 1 = 0\)

\(3 -4 \sqrt3 + 4 + 4\sqrt3 - 8 + 1 = 0\)

\(0 = 0\) - верно.

Если \(x_2= -2 - \sqrt{3} = -(2+\sqrt3) \), то

\(( -(2+\sqrt3)^2 + 4\cdot( -2-\sqrt3) + 1 = 0\)

\(4 +4\sqrt3 + 3 -8 - 4\sqrt3 + 1 = 0\)

\(0 = 0\) - верно.

Ответ: \(-2 + \sqrt{3}\),  \(-2 - \sqrt{3}\).

---

в) \(3y^2-4y-2=0\)

\(a = 3\),  \(b = -4\),  \(c = -2\)

\( D=b^2 - 4ac=\)

\(=(-4)^2-4\cdot 3\cdot (-2)=\)

\(=16+24=40 \)

\(\sqrt D = \sqrt 40 = \sqrt{4\cdot 10} = 2\sqrt10\)

\(y_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt D}{2a}=\frac{4\pm 4\sqrt{10}}{2\cdot3}=\)

\(=\frac{\cancel2(2\pm 2\sqrt{10})}{\cancel6_3}=\frac{2\pm \sqrt{10}}{3} \).

Проверка:

Если \(y_1 = \frac{2+ \sqrt{10}}{3} \), то

\(3\cdot(\frac{2+ \sqrt{10}}{3})^2 -4\cdot\frac{2+ \sqrt{10}}{3} - 2 = 0\)

\(\cancel3\cdot\frac{4+4\sqrt{10} + 10}{\cancel9_3}-\frac{8+ 4\sqrt{10}}{3} - 2 = 0\)

\(\frac{14+4\sqrt{10}}{3}-\frac{8+ 4\sqrt{10}}{3} - 2 = 0\)

\(\frac{14+4\sqrt{10} - 8 - 4\sqrt{10}}{3} - 2 = 0\)

\(\frac63 - 2 = 0\)

\(2 - 2 = 0\)

\(0=0\) - верно.

Если \(y_2 = \frac{2- \sqrt{10}}{3} \), то

\(3\cdot(\frac{2- \sqrt{10}}{3})^2 -4\cdot\frac{2- \sqrt{10}}{3} - 2 = 0\)

\(\cancel3\cdot\frac{4-4\sqrt{10} + 10}{\cancel9_3}-\frac{8- 4\sqrt{10}}{3} - 2 = 0\)

\(\frac{14-4\sqrt{10}}{3}-\frac{8- 4\sqrt{10}}{3} - 2 = 0\)

\(\frac{14-4\sqrt{10} - 8 + 4\sqrt{10}}{3} - 2 = 0\)

\(\frac63 - 2 = 0\)

\(2 - 2 = 0\)

\(0=0\) - верно.

Ответ: \(\frac{2+ \sqrt{10}}{3}\); \(\frac{2- \sqrt{10}}{3}\).

---

г) \(5y^2-7y+1=0\)

\(a = 5\),  \(b = -7\),  \(c = 1\)

\( D=b^2 - 4ac=(-7)^2-4\cdot 5\cdot 1=\)

\(=49-20=29 \),    \(\sqrt D = \sqrt 29\).

\(y_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt D}{2a}=\frac{7\pm \sqrt{29}}{10} \)

Проверка:

Если \(y_1 = \frac{7+ \sqrt{29}}{10} \), то

\(5\cdot(\frac{7+ \sqrt{29}}{10})^2 -7\cdot\frac{7+ \sqrt{29}}{10} + 1 =0\)

\(\cancel5\cdot\frac{49+ 14\sqrt{29}+29}{\cancel{100}_{20}} -\frac{49+ 7\sqrt{29}}{10} + 1 =0\)

\(\frac{78+ 14\sqrt{29}}{20} -\frac{49+ 7\sqrt{29}}{10} ^{\color{blue}{\backslash2}} + 1 =0\)

\(\frac{78+ 14\sqrt{29}-98-14\sqrt{29}}{20} +1= 0\)

\(\frac{-20}{20} + 1 = 0\)

\(-1+1 = 0\)

\(0=0\) - верно.

Если \(y_2 = \frac{7- \sqrt{29}}{10} \), то

\(5\cdot(\frac{7- \sqrt{29}}{10})^2 -7\cdot\frac{7- \sqrt{29}}{10} + 1 =0\)

\(\cancel5\cdot\frac{49- 14\sqrt{29}+29}{\cancel{100}_{20}} -\frac{49- 7\sqrt{29}}{10} + 1 =0\)

\(\frac{78- 14\sqrt{29}}{20} -\frac{49- 7\sqrt{29}}{10} ^{\color{blue}{\backslash2}} + 1 =0\)

\(\frac{78- 14\sqrt{29}-98+14\sqrt{29}}{20} +1= 0\)

\(\frac{-20}{20} + 1 = 0\)

\(-1+1 = 0\)

\(0=0\) - верно.

Ответ: \(\frac{7+ \sqrt{29}}{10} \); \(\frac{7- \sqrt{29}}{10} \).

---

д) \(2y^2+11y+10=0\)

\(a = 2\),  \(b = 11\),  \(c = 10\)

\( D=b^2 - 4ac=11^2 - 4\cdot2\cdot10 =\)

\(=121-80=41 \),    \(\sqrt D = \sqrt{41}\).

\(y_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt D}{2a}=\frac{-11\pm \sqrt{41}}{4} \)

Проверка:

Если \(y_1 = \frac{-11+ \sqrt{41}}{4}=\frac{\sqrt{41}-11}{4}\), то

\(2\cdot(\frac{\sqrt{41}-11}{4})^2+11\cdot\frac{\sqrt{41}-11}{4}+10=0\)

\(\cancel2\cdot\frac{41 - 22\sqrt{41}+121}{\cancel{16}_8}+\frac{11\sqrt{41}-121}{4}+10=0\)

\(\frac{162 - 22\sqrt{41}}{8}+\frac{11\sqrt{41}-121}{4} ^{\color{blue}{\backslash2}} +10=0\)

\(\frac{162 - 22\sqrt{41}+22\sqrt{41} - 242}{8}+10 = 0\)

\(\frac{-80}{8}+10=0\)

\(-10 + 10 = 0\)

\( 0 = 0\) - верно.

Если \(y_2 = \frac{-11- \sqrt{41}}{4}=-\frac{11+\sqrt{41}}{4}\), то

\(2\cdot(-\frac{11+\sqrt{41}}{4})^2+11\cdot(-\frac{11 + \sqrt{41}}{4})+10=0\)

\(\cancel2\cdot\frac{121 + 22\sqrt{41}+41}{\cancel{16}_8}-\frac{121+11\sqrt{41}}{4}+10=0\)

\(\frac{162 + 22\sqrt{41}}{8}-\frac{121+11\sqrt{41}}{4} ^{\color{blue}{\backslash2}} +10=0\)

\(\frac{162 + 22\sqrt{41}-242-22\sqrt{41}}{8}+10 = 0\)

\(\frac{-80}{8}+10=0\)

\(-10 + 10 = 0\)

\( 0 = 0\) - верно.

Ответ: \(\frac{-11+ \sqrt{41}}{4}\);  \(\frac{-11- \sqrt{41}}{4}\).

---

е) \(4x^2-9x-2=0\)

\(a = 4\),  \(b = -9\),  \(c = -2\)

\( D=b^2 - 4ac=\)

\(=(-9)^2-4\cdot 4\cdot (-2)=\)

\(=81+32=113 \),    \(\sqrt D = \sqrt {113}\).

\(x_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt D}{2a}=\frac{9\pm \sqrt{113}}{8} \)

Проверка:

Если \(x_1 = \frac{9+ \sqrt{113}}{8}\), то

\(4\cdot(\frac{9+ \sqrt{113}}{8})^2 - 9\cdot\frac{9+ \sqrt{113}}{8} - 2 = 0\)

\(\cancel4\cdot\frac{81+ 18\sqrt{113}+113}{\cancel{64}_{16}} - \frac{81+ 9\sqrt{113}}{8} - 2 = 0\)

\(\frac{194+ 18\sqrt{113}}{16} - \frac{81+ 9\sqrt{113}}{8} ^{\color{blue}{\backslash2}} - 2 = 0\)

\(\frac{194+ 18\sqrt{113}-162-18\sqrt{113}}{16} -2 =0\)

\(\frac{32}{16} -2 = 0\)

\(2-2 = 0\)

\(0 = 0\) - верно.

Если \(x_2 = \frac{9- \sqrt{113}}{8}\), то

\(4\cdot(\frac{9- \sqrt{113}}{8})^2 - 9\cdot\frac{9- \sqrt{113}}{8} - 2 = 0\)

\(\cancel4\cdot\frac{81- 18\sqrt{113}+113}{\cancel{64}_{16}} - \frac{81- 9\sqrt{113}}{8} - 2 = 0\)

\(\frac{194- 18\sqrt{113}}{16} - \frac{81- 9\sqrt{113}}{8} ^{\color{blue}{\backslash2}} - 2 = 0\)

\(\frac{194- 18\sqrt{113}-162+18\sqrt{113}}{16} -2 =0\)

\(\frac{32}{16} -2 = 0\)

\(2-2 = 0\)

\(0 = 0\) - верно.

Ответ: \(\frac{9+ \sqrt{113}}{8}\); \(\frac{9- \sqrt{113}}{8}\).

---

Пояснения:

Количество корней квадратного уравнения \(ax^2+bx+c=0\) зависит от дискриминанта. Формула дискриминанта:

\(D=b^2-4ac\).

– если \(D>0\), то уравнение имеет два корня:

\(x_1 =\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}\);

\(x_2 =\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}\).

Чтобы выполнить проверку, нужно в исходное уравнение подставить вместо переменной, найденные значения корней уравнения, и выполнить вычисления. Если в результате вычислений получится верное числовое равенство, то корни найдены верно.

Свойства арифметического корня:

\((\sqrt{a})^2 = a\);

\(\sqrt{ab} = \sqrt a \cdot \sqrt b\).