Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№659 учебника 2023-2025 (стр. 154):
Моторная лодка, скорость которой в стоячей воде \(15\) км/ч, прошла по течению реки \(35\) км, а против течения — \(25\) км. По течению она шла столько же времени, сколько против течения. Какова скорость течения реки?
№659 учебника 2013-2022 (стр. 152):
При каком значении \(a\) один из корней уравнения \(ax^2-3x-5=0\) равен 1? Найдите, чему равен при этом значении \(a\) второй корень.
№659 учебника 2023-2025 (стр. 154):
Вспомните.
№659 учебника 2013-2022 (стр. 152):
Вспомните.
№659 учебника 2023-2025 (стр. 154):
Пусть скорость течения реки \(x\) км/ч.
| Расстояние, км | Скорость, км/ч | Время, ч | |
| По течению | \(35\) | \(15+x\) | \(\frac{35}{15+x}\) |
| Против течения | \(25\) | \(15 - x\) | \(\frac{25}{15-x}\) |
Составим уравнение:
\(\frac{35}{15+x}=\frac{25}{15-x}\) \(/\times (15+x)(15-x)\)
ОДЗ: \(15 + x \neq0\) и \( 15 - x \neq0\)
\(x\neq-15\) \(x \neq 15\)
\(35(15 - x) = 25(15 + x)\)
\(525 - 35x = 375 + 25x\)
\(-35x - 25x = 375 - 525\)
\(-60x = -150\)
\(x=\frac{-150}{-60}\)
\(x = 2,5\)
Ответ: скорость течения реки равна 2,5 км/ч.
Пояснения:
Время пути вычисляется по формуле \[t=\frac{S}{v}.\]
Если скорость течения реки равна \(x\) км/ч, то при движении по течению скорость равна \(15+x\), а против течения - \(15-x\).
Условие «времена равны» даёт дробное рациональное уравнение:
\(\frac{35}{15+x}=\frac{25}{15-x}\).
Алгоритм решения дробного рационального уравнений:
1) найти ОДЗ (область допустимых значений), то есть те значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль;
2) найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;
3) умножить обе части уравнения на общий знаменатель;
4) решить получившееся целое уравнение;
5) исключить из его корней те, которые совпадают с ОДЗ.
После того как обе части уравнения домножили на общий знаменатель и выполнили преобразования, получили линейное уравнение
\(-60x = -150\) откуда
\(x=\frac{-150}{-60}=2,5\).
Значит, скорость течения реки равна \(2,5\) км/ч.
№659 учебника 2013-2022 (стр. 152):
\(ax^2-3x-5=0\)
Если \(x=1\), то
\( a\cdot 1^2 - 3\cdot 1 - 5=0 \)
\( a-3-5=0 \)
\(a-8=0\)
\( a=8 \)
\( 8x^2-3x-5=0 \)
\(a = 8\), \(b = -3\), \(c = -5\)
\( D=b^2 - 4ac=\)
\(=(-3)^2 - 4\cdot8\cdot(-5)=\)
\(=9+160 = 169\), \(\sqrt D = 13\).
\(x_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt D}{2a}\)
\(x_1 = \frac{-(-3) + 13}{2\dot8}=\frac{16}{16} = 1\).
\(x_2 = \frac{-(-3) - 13}{2\dot8}=\frac{-10}{16} = -\frac58\).
Ответ: при \(a= 8\) второй корень равен \(8\).
Пояснения:
Сначала в уравнение \(ax^2-3x-5=0\) вместо \(x\) подставили значение известного корня, то есть 1, и, решив уравнение относительно \(a\), определили, что \(a= 8\).
В результате получили квадратное уравнение:
\( 8x^2-3x-5=0 \), которое имеет два корня: \(1\) и \(-\frac58\).
Вернуться к содержанию учебника