Упражнение 595 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

Катеты относятся как 8 : 15. Пусть \(x\) м приходится на одну часть, тогда первый катет равен \(8x\) м, а второй - \(15x\) м. Гипотенуза равна \(6,8\) м.

По теореме Пифагора составим уравнение:

\((8x)^2 + (15x)^2 = 6,8^2\)

\(64x^2 + 225x^2 = 46,24\)

\(289x^2 = 46,24\)

\(x^2 = \frac{46,24}{289}\)

\(x^2 = 0,16\)

\(x_1 = -\sqrt{16} = -0,4\) - не удовлетворяет условию \((x>0)\).

\(x_2 = \sqrt{16} = 0,4\)

1) \(8\cdot0,4 = 3,2\) (м) - первый катет.

2) \(15\cdot0,4 = 6\) (м) - второй катет.

3) \(S=\dfrac{1}{2}\cdot3{,}2\cdot6=9{,}6\) (м²)

Ответ: площадь треугольника равна 9,6 м².

Пояснения:

Используемые приемы:

1) Катеты прямоугольного треугольника относятся как 8 : 15. Пусть \(x\) м приходится на одну часть, тогда первый катет равен \(8x\) м, а второй - \(15x\) м.

2) Теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. По условию гипотенуза равна \(6{,}8\) м. Тогда можем составить следующее уравнение:

\((8x)^2 + (15x)^2 = 6,8^2\),

откуда, выполнив преобразования, получим неполное квадратное уравнение:

\(289x^2 = 46,24\).

Полученное уравнение имеет два корня:

\(x_1 = -0,4\) и \(x_2 = 0,4\).

Отрицательный корень не подходит, так как длина может быть только положительным числом.

Далее, используя положительный корень, находим катеты прямоугольного треугольника.

3) Площадь прямоугольного треугольника:

\(\displaystyle S=\frac{1}{2}ab\),

где \(a\) и \(b\) - катеты.

\(x^{2}+5x+m=0\)

\(a = 1\),  \(b = 5\),  \(c=m\)

\(x_{1}\) и \(x_{2}\) - корни уравнения.

а) \(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=35\)

\(x_{1}^{2}+x_{2}^{2} + 2x_1x_2 - 2x_1x_2=35\)

\((x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 =35\)

По теореме обратной теореме Виета:

\(x_{1}+x_{2}=-5,\)

\(x_{1}x_{2}=m.\)

\((-5)^2 -2m = 35\)

\(25 -2m = 35\)

\(-2m = 35 - 25\)

\(-2m = 10\)

\(m = \frac{10}{-2}\)

\(m = -5\)

Ответ: при \(m = -5\).

б) \(x_{1}^{3}+x_{2}^{3}=40\)

\((x_{1}+x_{2})(x_{1}^{2}-x_1x_2+x_{2}^{2})=40\)

\((x_{1}+x_{2})(x_{1}^{2}+2x_1x_2+x_{2}^{2}- x_1x_2-2x_1x_2 =40\)

\((x_{1}+x_{2})((x_{1}+x_{2})^2-3x_1x_2) =40\)

По теореме обратной теореме Виета:

\(x_{1}+x_{2}=-5,\)

\(x_{1}x_{2}=m.\)

\(-5\cdot((-5)^2 -3m) = 40\)   \( / : (-5)\)

\(25 - 3m = -8\)

\(-3m = -8 - 25\)

\(-3m = -33\)

\(m = \frac{-33}{-3}\)

\(m = 11\)

Ответ: при \(m = 11\).

Пояснения:

Для квадратного уравнения

\(ax^2 + bx + c = 0\), корни которого \(x_1\) и \(x_2\) по теореме обратной теореме Виета:

\( x_1+x_2=-\frac{b}{a}\)  и  \( x_1x_2=\frac{c}{a}. \)

Тогда для уравнения

\(x^{2}+5x+m=0\) имеем:

\(x_{1}+x_{2}=-5,\)

\(x_{1}x_{2}=m.\)

Пункт а):

По условию \(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=35\).

Учитывая то, что значение выражения не изменится, если к нему прибавить и вычесть одно и то же выражение, можем записать:

\(x_{1}^{2}+x_{2}^{2} + 2x_1x_2 - 2x_1x_2=35\).

По формуле квадрата суммы двух выражений

\(x_{1}^{2}+ 2x_1x_2+x_{2}^{2} = (x_1 + x_2)^2 \),

тогда получаем:

\((x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 =35\).

Учитывая значения суммы и разности корней по теореме обратной теореме Виета (смотри выше), имеем:

\((-5)^2 -2m = 35\), откуда, решив уравнение, находим \(m = -5\).

Пункт б):

По условию \(x_{1}^{3}+x_{2}^{3}=40\).

В левой части уравнения применяем формулу суммы кубов двух выражений:

\((x_{1}+x_{2})(x_{1}^{2}-x_1x_2+x_{2}^{2})=40\)

Учитывая то, что значение выражения не изменится, если к нему прибавить и вычесть одно и то же выражение, можем записать:

\((x_{1}+x_{2})(x_{1}^{2}+2x_1x_2+x_{2}^{2}- x_1x_2-2x_1x_2 =40\).

По формуле квадрата суммы двух выражений

\(x_{1}^{2}+ 2x_1x_2+x_{2}^{2} = (x_1 + x_2)^2 \),

тогда получаем:

\((x_{1}+x_{2})((x_{1}+x_{2})^2-3x_1x_2) =40\).

Учитывая значения суммы и разности корней по теореме обратной теореме Виета (смотри выше), имеем:

\(-5\cdot((-5)^2 -3m) = 40\), откуда, решив уравнение, находим \(m = 11\).