Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№591 учебника 2023-2025 (стр. 136):
(Для работы в парах.) Не решая уравнения, выясните, имеет ли оно корни, и если имеет, то определите их знаки:
а) \(\;x^{2}+7x-1=0;\)
б) \(\;x^{2}-7x+1=0;\)
в) \(\;5x^{2}+17x+16=0;\)
г) \(\;19x^{2}-23x+5=0;\)
д) \(\;2x^{2}+5\sqrt3\,x+11=0;\)
е) \(\;11x^{2}-9x+7-5\sqrt2=0.\)
1) Сформулируйте теорему, на основании которой можно определить знаки корней.
2) Распределите, кто выполняет задания а), в), д), а кто - задания б), г), е), и выполните их.
3) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнены задания. Исправьте ошибки, если они допущены.
№591 учебника 2013-2022 (стр. 137):
Разность квадратов корней уравнения \(x^{2}+2x+q=0\) равна \(12\). Найдите \(q\).
№591 учебника 2023-2025 (стр. 136):
Вспомните:
№591 учебника 2013-2022 (стр. 137):
Вспомните:
№591 учебника 2023-2025 (стр. 136):
а) \(\;x^{2}+7x-1=0\)
\(a = 1\), \(b = 7\), \(c = -1\)
\(D=b^2 - 4ac=7^{2}-4\cdot1\cdot(-1)=\)
\(=49+4=53>0\) - уравнение имеет 2 корня.
По теореме обратной теореме Виета:
\(x_1 + x_2 = -7 < 0\),
\(x_1\cdot x_2 = -1 < 0\), значит, корни имеют разные знаки.
Ответ: один корень положительный, другой - отрицательный.
б) \(\;x^{2}-7x+1=0\)
\(a = 1\), \(b = -7\), \(c = 1\)
\(D=b^2 - 4ac=(-7)^{2}-4\cdot1\cdot1=\)
\(=49 - 4=45>0\) - уравнение имеет 2 корня.
\(x_1 + x_2 = 7 > 0\),
\(x_1\cdot x_2 = 1 > 0\), значит, оба корня положительны.
Ответ: оба корня положительны.
в) \(\;5x^{2}+17x+16=0\)
\(a = 5\), \(b = 17\), \(c = 16\)
\(D=b^2 - 4ac=17^{2}-4\cdot5\cdot16=\)
\(=289-320=-31<0\) - корней нет.
Ответ: корней нет.
г) \(\;19x^{2}-23x+5=0\)
\(a = 19\), \(b = -23\), \(c = 5\)
\(D=b^2 - 4ac=\)
\(=(-23)^{2}-4\cdot19\cdot5=\)
\(=529-380=149>0\) - уравнение имеет 2 корня.
\(x_1 + x_2 = \frac{23}{19} > 0\),
\(x_1\cdot x_2 = \frac{5}{19} > 0\), значит, оба корня положительны.
Ответ: оба корня положительны.
д) \(\;2x^{2}+5\sqrt3\,x+11=0\)
\(a = 2\), \(b = 5\sqrt3\), \(c = 11\)
\(D=b^2 - 4ac=\)
\(=(5\sqrt3)^{2}-4\cdot2\cdot11=\)
\(=25\cdot3-88=75-88=-13<0\) - корней нет.
Ответ: корней нет.
е) \(\;11x^{2}-9x+7-5\sqrt2=0\)
\(a = 11\), \(b = -9\), \(c = 7-5\sqrt2\)
\(D=b^2 - 4ac=\)
\(=(-9)^{2}-4\cdot11\cdot(7-5\sqrt2)=\)
\(=81-44(7-5\sqrt2)=\)
\(=81 - 308 + 220\sqrt2=\)
\(=220\sqrt2-227>0\) - уравнение имеет 2 корня.
\(x_1 + x_2 = \frac{9}{11} > 0\),
\(x_1\cdot x_2 = \frac{7-5\sqrt2}{11} < 0\), значит, корни имеют разные знаки.
Ответ: один корень положительный, другой - отрицательный.
Теорема:
По теореме обратной тереме Виета для квадратного уравнения
\(ax^2 + bx + c=0\), корни которого \(x_1\) и \(x_2\):
\( x_1+x_2=-\frac{b}{a}\) и \(x_1x_2=\frac{c}{a}, \)
тогда, если \(x_1x_2<0\), то корни уравнения разных знаков; если \(x_1x_2>0\), то корни уравнения одного знака, который совпадает со знаком суммы \(x_1+x_2\).
Пояснения:
Количество корней квадратного уравнения \(ax^2+bx+c=0\) зависит от дискриминанта. Формула дискриминанта:
\(D=b^2-4ac\).
– если \(D>0\), то уравнение имеет два корня;
– если \(D=0\), то уравнение имеет один корень;
– если \(D<0\), то уравнение не имеет корней.
Знаки корней удобно получать по теореме обратной теореме Виета:
\( x_1+x_2=-\frac{b}{a}\) и \( x_1x_2=\frac{c}{a}. \)
Если \(x_1x_2<0\) — корни разных знаков; если \(x_1x_2>0\) — корни одного знака, который совпадает со знаком суммы \(x_1+x_2\).
Пункт е): без вычисления десятичного значения используем оценку \(\sqrt2>1{,}4\).
№591 учебника 2013-2022 (стр. 137):
\(x^{2}+2x+q=0\)
\(a = 1\), \(b = 2\), \(c = q\)
\(x_{1}^{2} - x_{2}^{2} = 12\)
По теореме обратной теореме Виета:
\(x_1+x_2 = -2\) и \(x_1\cdot x_2 = q\).
Составим систему:
\( \begin{cases} x_{1}^{2} - x_{2}^{2} = 12,\\ x_1+x_2 = -2 \end{cases} \)
\( \begin{cases} (x_1 + x_2)(x_1 - x_2) = 12,\\ x_1+x_2 = -2 \end{cases} \)
\( \begin{cases} -2(x_1 - x_2) = 12, / : (-2)\\ x_1+x_2 = -2 \end{cases} \)
\( \begin{cases} x_1 - x_2 = -6, \\ x_1+x_2 = -2 \end{cases} \) \((+)\)
\( \begin{cases} 2x_1 = -8, \\ x_1+x_2 = -2 \end{cases} \)
\( \begin{cases} x_1 = -\frac82, \\ x_2 = -2-x_1 \end{cases} \)
\( \begin{cases} x_1 = -4, \\ x_2 = -2-(-4) \end{cases} \)
\( \begin{cases} x_1 = -4, \\ x_2 = 2 \end{cases} \)
\(x_1\cdot x_2 = q\)
\(q = -4\cdot2 = -8\)
Ответ: \(q = -8\).
Пояснения:
Приведённое квадратное уравнение \(x^2+bx+c=0\) в том случае, когда дискриминант больше нуля
\((D=b^2-4ac>0)\) имеет два корня \(x_1\) и \(x_2\), для которых справедливы равенства:
\(x_1 + x_2=-b\),
\(x_1\cdot x_2=c\).
По условию разность квадратов корней квадратного уравнения 12, то есть
\(x_{1}^{2} - x_{2}^{2} = 12\).
Составляем систему из уравнений суммы корней и разности квадратов корней:
\( \begin{cases} x_{1}^{2} - x_{2}^{2} = 12,\\ x_1+x_2 = -2 \end{cases} \).
Сначала для первого уравнения системы применяем формулу разности квадратов двух выражений:
\( \begin{cases} (x_1 + x_2)(x_1 - x_2) = 12,\\ x_1+x_2 = -2 \end{cases} \).
Учитывая то, что \( x_1+x_2 = -2\) в первом уравнении заменяем первую скобку на \(-2\) и делим обе части полученного уравнения на \(-2\), тогда имеем:
\( \begin{cases} x_1 - x_2 = -6, \\ x_1+x_2 = -2 \end{cases} \).
Решаем полученную систему способом сложения и находим значения корней:
\(x_1 = -4, \\ x_2 = 2\).
Через произведение корней находим коэффициент \(q = -8\).
Вернуться к содержанию учебника