Упражнение 546 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(x^2 - 2x - 1=0\)

\(x^2 = 2x + 1\)

\(y = x^2\) - парабола.

\(y = 2x + 1\) - прямая.

\(x^2 - 2x - 1=0\)

\(a = 1\),  \(b = -2\),  \(c = -1\)

\(D =b^2 - 4ac =\)

\(=(-2)^2 -4\cdot1\cdot(-1) =\)

\(=4+4 = 8\);  

\(\sqrt{D} = \sqrt{8} =\sqrt{4\cdot2}=2\sqrt{2}\)

\( x_1 = \frac{-b+\sqrt{D}}{2a}= \frac{-(-2)+ 2\sqrt{2}}{2\cdot1}=\)

\(=\frac{2+ 2\sqrt{2}}{2}=\frac{\cancel2(1+ \sqrt{2})}{\cancel2}=\)

\(=1+ \sqrt{2}\approx1+1,4 \approx2,4\).

\( x_2 = \frac{-b-\sqrt{D}}{2a}= \frac{-(-2)- 2\sqrt{2}}{2\cdot1}=\)

\(=\frac{2- 2\sqrt{2}}{2}=\frac{\cancel2(1- \sqrt{2})}{\cancel2}=\)

\(=1- \sqrt{2}\approx1-1,4 \approx-0,4\).

Ответ: \( x_1 \approx2,4\), \( x_2 \approx-0,4\).

б) \( x^2 - 4x + 2=0\)

\( x^2 = 4x - 2\)

\(y = x^2\) - парабола.

\(y= 4x - 2\)

\( x^2 - 4x + 2=0\)

\(a = 1\),  \(b = -4\),  \(c = 2\)

\(D =b^2 - 4ac = (-4)^2 -4\cdot1\cdot2 = \)

\(=16-8 = 8\);

\(\sqrt{D} = \sqrt{8} =\sqrt{4\cdot2}=2\sqrt{2}\)

\( x_1 = \frac{-b+\sqrt{D}}{2a}= \frac{4 + 2\sqrt{2}}{2} =\)

\(=\frac{\cancel2(2 + \sqrt{2})}{\cancel2} =2 + \sqrt2\approx\)

\(\approx 2+1,4 \approx 3,4 \).

\( x_2 = \frac{-b-\sqrt{D}}{2a}= \frac{4 - 2\sqrt{2}}{2} =\)

\(=\frac{\cancel2(2 - \sqrt{2})}{\cancel2} =2 - \sqrt2 \approx\)

\(\approx2-1,4 \approx 0,6 \).

Ответ: \( x_1 \approx3,4\), \( x_2 \approx0,6\).

Пояснения:

1 способ

Чтобы решить уравнения графически, в левой части уравнения оставляем \(x^2\), а остальные компоненты переносим в правую часть,изменив их знаки на противоположные. Строим два графика:

•  \(y = x^2\) - парабола. Строим по точкам;
•  \(y = kx+b\) - прямая. Для построения достаточно двух точек.

Абсциссы (координаты \(x\)) точек пересечения графиков и будут решениями исходного уравнения.

2 способ

Количество корней полного квадратного уравнения

\(ax^2+bx+c=0\) зависит от дискриминанта. Формула дискриминанта:

\(D=b^2-4ac\).

– если \(D>0\), то уравнение имеет два корня:

\(x_1 =\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}\);

\(x_2 =\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}\).

– если \(D=0\), то уравнение имеет один корень:

\(x =-\frac{b}{2a}\).

– если \(D<0\), то уравнение не имеет корней.

а) \( \frac{x^2 - 1}{2} - 11x = 11 \)   \(/\times2\)

\(x^2 - 1 - 22x = 22 \)

\(x^2 - 1 - 22x - 22=0 \)

\(x^2 - 22x - 23 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = -22\),  \(c = -23\)

\(D =b^2 - 4ac = \)

\(=(-22)^2 - 4\cdot1\cdot(-23) = \)

\(=484 + 92 = 576\);    \(\sqrt D = 24\).

\( x_1 = \frac{-b+\sqrt{D}}{2a}= \frac{-(-22) + 24}{2\cdot1}=\)

\(=\frac{46}{2}=23\).

\( x_2 = \frac{-b+\sqrt{D}}{2a}= \frac{-(-22) - 24}{2\cdot1}=\)

\(=\frac{-2}{2}=-1\).

Ответ: \( x_1 = 23\),  \( x_2 = -1\).

б) \( \frac{x^2 + x}{2} = \frac{8x - 7}{3} \)   \(/\times6\)

\(3(x^2 + x) = 2(8x - 7) \)

\(3x^2 + 3x = 16x - 14\)

\(3x^2 + 3x - 16x + 14=0\)

\(3x^2 - 13x + 14 = 0\)

\(a = 3\),  \(b = -13\),  \(c = 14\)

\(D =b^2 - 4ac =\)

\(=(-13)^2 - 4\cdot3\cdot14 =\)

\(=169 - 168 = 1\);    \(\sqrt D = 1\).

\( x_1 = \frac{-b+\sqrt{D}}{2a}= \frac{-(-13)+ 1}{6} =\)

\(=\frac{14}{6} =\frac{7}{3} = 2\frac{1}{3}\).

\( x_2 = \frac{-b-\sqrt{D}}{2a}= \frac{-(-13)- 1}{6} =\)

\(=\frac{12}{6} =2\).

Ответ: \( x_1 =2\frac{1}{3}\),  \( x_2 =2\).

в) \( \frac{4x^2 - 1}{3} = x(10x - 9) \)   \(/\times3\)

\( \frac{4x^2 - 1}{3} = 3x(10x - 9) \) 

\( 4x^2 - 1 = 30x^2 - 27x\)

\( 4x^2 - 1 - 30x^2+ 27x=0\)

\(-26x^2 + 27x - 1 = 0\)    \(/\times(-1)\)

\(26x^2 - 27x + 1 = 0\)

\(a = 26\),  \(b = -27\),  \(c = 1\)

\(D =b^2 - 4ac =\)

\(=(-27)^2 - 4\cdot26\cdot1 =\)

\(=729 - 104 = 625\);    \(\sqrt D = 25\).

\( x_1 = \frac{-b+\sqrt{D}}{2a}= \frac{-(-27) + 25}{2\cdot26} =\)

\(=\frac{52}{52}=1\).

\( x_2 = \frac{-b-\sqrt{D}}{2a}= \frac{-(-27) - 25}{2\cdot26} =\)

\(=\frac{2}{52} = \frac{1}{26} \).

Ответ: \( x_1 =1\),  \( x_2 =\frac{1}{26} \).

г) \( \frac{3}{4}x^2 - \frac{2}{5}x = \frac{4}{5}x^2 + \frac{3}{4} \)    \(/\times20\)

\( 5\cdot3x^2 - 4\cdot2x =4\cdot4x^2 + 5\cdot3 \)

\( 15x^2 - 8x =16x^2 + 15 \)

\( 15x^2 - 8x -16x^2 - 15=0 \)

\(-x^2 - 8x - 15 = 0 \)    \(/\times(-1)\)

\(x^2 + 8x + 15 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = 8\),  \(c = 15\)

\(D =b^2 - 4ac =8^2 - 4\cdot1\cdot15 =\)

\(=64 - 60 = 4\);   \(\sqrt D = 2\)

\( x_1 = \frac{-b+\sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 + 2}{2}=\)

\(=\frac{-6}{2}=-3\).

\( x_2 = \frac{-b-\sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 - 2}{2}=\)

\(=\frac{-10}{2}=-5\).

Ответ: \( x_1 =-3\),  \( x_2 =-5\).

Пояснения:

Использованные приёмы и формулы:

1. В каждом уравнении сначала избавились от знаменателей, для этого обе части уравнения умножили на общий знаменатель дробей, входящих в рассматриваемое уравнение.

2) Раскрытие скобок:

\(a(b+c) = ab + ac\).

3. Все слагаемые из правой части уравнения перенесли в левую, изменив их знаки на противоположные, и привели подобные слагаемые в левой части уравнения, получили полное квадратное уравнение вида

\(ax^2+bx+c=0\). Если коэффициент \(a\) после преобразований получился отрицательным, домножили обе части уравнения на \(-1\), чтобы упростить вычисления.

4. Количество корней полного квадратного уравнения зависит от дискриминанта. Формула дискриминанта:

\(D=b^2-4ac\).

– если \(D>0\), то уравнение имеет два корня:

\(x_1 =\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}\);

\(x_2 =\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}\).

– если \(D=0\), то уравнение имеет один корень:

\(x =-\frac{b}{2a}\).

– если \(D<0\), то уравнение не имеет корней.