Упражнение 683 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(xy=2\)

\(y=\frac2x\)

Если \(x = 1\), то \(y = \frac21 = 2\).

Если \(x = -1\), то \(y = \frac{2}{-1} = -2\).

Если \(x = 2\), то \(y = \frac22 = 1\).

Если \(x = -2\), то \(y = \frac{2}{-2} = -1\).

Ответ: \((1,2); (2,1); (-1,-2); (-2,-1)\).

б) \(x^{2}-y^{2}=3\)

\((x-y)(x+y)=3\).

\((1,3),(3,1),(-1,-3),(-3,-1)\).

1) \(1\cdot3 = 3\)

\( \begin{cases} x-y=1,\\ x+y=3, \end{cases} \)  \((+)\)

\( \begin{cases} 2x=4,\\ x+y=3, \end{cases} \)

\( \begin{cases} x=\frac42,\\ y=3-x, \end{cases} \)

\( \begin{cases} x=2,\\ y=3-2, \end{cases} \)

\( \begin{cases} x=2,\\ y=1, \end{cases} \)

2) \(3\cdot1 = 3\)

\( \begin{cases} x-y=3,\\ x+y=1, \end{cases} \)  \((+)\)

\( \begin{cases} 2x=4,\\ x+y=1, \end{cases} \)

\( \begin{cases} x=\frac42,\\ y=1 - x, \end{cases} \)

\( \begin{cases} x=2,\\ y=1 - 2, \end{cases} \)

\( \begin{cases} x=2,\\ y=-1, \end{cases} \)

3) \(-1\cdot(-3) = 3\)

\( \begin{cases} x-y=-1,\\ x+y=-3, \end{cases} \)  \((+)\)

\( \begin{cases} 2x=-4,\\ x+y=-3, \end{cases} \)

\( \begin{cases} x=-\frac42,\\ y=-3 - x, \end{cases} \)

\( \begin{cases} x=-2,\\ y=-3 - (-2), \end{cases} \)

\( \begin{cases} x=-2,\\ y=-1, \end{cases} \)

4) \(-3\cdot(-1) = 3\)

\( \begin{cases} x-y=-3,\\ x+y=-1, \end{cases} \)  \((+)\)

\( \begin{cases} 2x=-4,\\ x+y=-1, \end{cases} \)

\( \begin{cases} x=-\frac42,\\ y=-1 - x, \end{cases} \)

\( \begin{cases} x=-2,\\ y=-1 - (-2), \end{cases} \)

\( \begin{cases} x=-2,\\ y=-1. \end{cases} \)

Ответ: \((2,1),(2,-1),(-2,-1),(-2,1)\).

Пояснения:

В пункте а) выражаем \(y\) через \(x\) и подбираем такие целые значения \(x\), чтобы \(y\) также принимал целые значения.

В пункте б) разность квадратов раскладывается по формуле

\( x^{2}-y^{2}=(x-y)(x+y). \)

Если \((x-y)(x+y)=3\), то обе скобки — целые делители числа \(3\). Так как \(3\) — простое, его целые делители: \(\pm1,\pm3\). Пары делителей, дающих произведение \(3\): \((1,3),(3,1),(-1,-3),(-3,-1)\). Для каждой пары решаем систему \( \begin{cases} x-y=a,\\ x+y=b, \end{cases} \). Систему решаем способом сложения.

\[x^2 + px + q = 0\]

Пусть корни уравнения равны \(x_1\) и \(x_2\).

По теореме Виета:

\[ x_1 + x_2 = -p, \quad x_1 x_2 = q. \]

\( x_1^2 + x_2^2 =\)

\(=x_1^2 + 2x_1x_2+ x_2^2 - 2x_1x_2=\)

\(=(x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2=\)

\(=(-p)^2 - 2q = p^2 - 2q\)

Ответ: сумма квадратов корней равна \(p^2 - 2q.\)

Пояснения:

Использованные приемы и формулы:

- квадрат суммы двух выражений:

\((x_1 + x_2) = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2\).

- значение выражения не изменится, если к нему прибавить и вычесть одно и то же выражение, поэтому:

\( x_1^2 + x_2^2 =\)

\(=x_1^2 + 2x_1x_2+ x_2^2 - 2x_1x_2=\)

\(=(x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2\)

- теорема Виета:

\[ x_1 + x_2 = -p, \quad x_1 x_2 = q. \]