Упражнение 170 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \( \frac{\frac{a^2}{4 }^{\color{blue}{\backslash9} }-\frac{b^2}{9} ^{\color{blue}{\backslash4}} }{\frac{a}{12} ^{\color{blue}{\backslash2}} +\frac{b}{18} ^{\color{blue}{\backslash2}} } =\)

\(=\frac{9a^2-4b^2}{36} : \frac{3a+2b}{36} =\)

\(=\frac{9a^2-4b^2}{\cancel{36}} \cdot \frac{\cancel{36}}{3a+2b} =\)

\(=\frac{9a^2-4b^2}{3a+2b} =\)

\(=\frac{(3a-2b)\cancel{(3a+2b)}}{\cancel{3a+2b}} =\)

\(=3a-2b. \)

Если \(a=\frac{2}{3},\,b=-\frac12\), то

\( 3a-2b =3\cdot\frac{2}{3}-2\cdot\bigl(-\frac12\bigr) =\)

\(=2+1 =3. \)

б) \( \frac{0{,}2a - b}{\frac{a^2}{25} - b^2  ^{\color{blue}{\backslash25}} } =\frac{\frac{a}{5}-b ^{\color{blue}{\backslash5}} }{\displaystyle\frac{a^2-25b^2}{25}} =\)

\(=\frac{a-5b}{5} : \frac{(a-5b)(a+5b)}{25} =\)

\(=\frac{\cancel{a-5b}}{\cancel{5}}\cdot\frac{\cancel{25}  ^5}{\cancel{(a-5b)}(a+5b)} =\)

\(=\frac{5}{a+5b}. \)

Если \(a=-8,\,b=0{,}6\), то

\( \frac{5}{a+5b} =\frac{5}{-8+5\cdot0{,}6} =\)

\(=\frac{5}{-8+3} =\frac{5}{-5} =-1. \)

Пояснения:

Основные используемые правила:

1) Дробь всегда можно заменить делением (числитель разделить на знаменатель).

2) Для сложения и вычитания дробей приводим их к общему знаменателю, умножая числитель и знаменатель каждой дроби на необходимые множители.

3) Деление дробей выполняется умножением на обратную дробь:

\(\frac{A}{B} : \frac{C}{D} = \frac{A}{B}\cdot\frac{D}{C}= \frac{A\cdot D}{B\cdot C}.\)

4) Разность квадратов двух выражений:

\(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\).

5) Сокращение дробей:

\(\frac{k\cdot a}{k\cdot b}=\frac{a}{b}\).

6) Свойство степени:

\(a^nb^n=(ab)^n\).

а) 3, 5

\(n=2\),

\( a_{ср.} =\frac{2}{\frac{1}{3} ^{\color{blue}{\backslash5}} + \frac{1}{5} ^{\color{blue}{\backslash3}} }=\frac{2}{\tfrac{5+3}{15}} =\)

\(=\frac{2}{\tfrac{8}{15}} = 2 : \frac{8}{15} = 2 \cdot \frac{15}{8} =\)

\(=\frac{30}{8} = \frac{15}{4} = 3,75 \)

б) 2, 4, 8

\(n=3\),

\(a_{ср.} = \frac{3}{\frac{1}{2} ^{\color{blue}{\backslash4}} + \frac{1}{4} ^{\color{blue}{\backslash2}} + \frac{1}{8}}=\)

\(=\frac{3}{ \frac{4+2+1}{8}} =\frac{3}{\tfrac{7}{8}} =3 : \frac78=\)

\(=3 \cdot \frac{8}{7} = \frac{24}{7} = 3\frac37. \)

в) 5, 10, 15, 20

\(n=4\)

\( a_{ср.} =\frac{4}{\frac{1}{5} ^{\color{blue}{\backslash12}} + \frac{1}{10} ^{\color{blue}{\backslash6}} + \frac{1}{15} ^{\color{blue}{\backslash4}} + \frac{1}{20} ^{\color{blue}{\backslash3}} }=\)

\(= \frac{4}{\frac{12+6+4+3}{60}} =\frac{4}{\tfrac{25}{60}}=\frac{4}{\tfrac{5}{12}} =\)

\(=4 : \frac{5}{12}=4 \cdot \frac{12}{5} = \frac{48}{5} = 9,6. \)

Пояснения:

Использованные правила и приёмы:

• Среднее гармоническое \(a_{ср.}\) для \(n\) чисел \(a_1, a_2,\dots,a_n\) определяется как

\( a_{ср.} =\frac{n}{\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2}+\dots+ \frac{1}{a_n}}.\)

• Для вычисления суммы обратных дробей приводим их к общему знаменателю, складываем числители и упрощаем.