Упражнение 169 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) Если \(a = \frac{1}{1-x}\), \(b = \frac{1}{1+x}\), то

\(\frac{a+b}{a-b} = \frac{\frac{1}{1-x} ^{\color{blue}{\backslash{1+x}}} + \frac{1}{1+x ^{\color{blue}{\backslash{1-x}}} }}{\frac{1}{1-x} ^{\color{blue}{\backslash{1+x}}} - \frac{1}{1+x} ^{\color{blue}{\backslash{1-x}}} } =\)

\(=\frac{(1+x)+(1-x)}{(1-x)(1+x)} : \frac{(1+x)-(1-x)}{(1-x)(1+x)} =\)

\(=\frac{1+\cancel{x}+1-\cancel{x}}{1-x^2} : \frac{\cancel1+x-\cancel1+x}{1-x^2} =\)

\(=\frac{2}{1-x^2} : \frac{2x}{1-x^2} =\)

\(=\frac{\cancel{2}}{\cancel{1-x^2}} \cdot \frac{\cancel{1-x^2}}{\cancel{2}x} =\frac1x\).

б) Если \(x = \frac{ab}{a-b}\), то

\(\frac{ax}{a+x} - \frac{bx}{b-x} =\)

\(=\frac{a\cdot\frac{ab}{a-b}}{a ^{\color{blue}{\backslash{a-b}}} +\frac{ab}{a-b}}-\frac{b\cdot\frac{ab}{a-b}}{b ^{\color{blue}{\backslash{a-b}}} -\frac{ab}{a-b}} =\)

\(=\frac{a^2b}{a-b}: \frac{a(a-b)+ab}{a-b} - \frac{ab^2}{a-b} : \frac{b(a-b)-ab}{a-b} =\)

\(=\frac{a^2b}{a-b}: \frac{a^2 - \cancel{ab}+\cancel{ab}}{a-b} - \frac{ab^2}{a-b} : \frac{\cancel{ab}-b^2-\cancel{ab}}{a-b} =\)

\(=\frac{a^2b}{a-b}: \frac{a^2}{a-b} - \frac{ab^2}{a-b} : \frac{-b^2}{a-b} =\)

\(=\frac{\cancel{a^2}b}{\cancel{a-b}} \cdot \frac{\cancel{a-b}}{\cancel{a^2}} + \frac{a\cancel{b^2}}{\cancel{a-b}} \cdot \frac{\cancel{a-b}}{\cancel{b^2}} =\)

\(=b+a\).

Пояснения:

Основные используемые правила:

1) Дробь всегда можно заменить делением (числитель разделить на знаменатель).

2) Для сложения и вычитания дробей приводим их к общему знаменателю, умножая числитель и знаменатель каждой дроби на необходимые множители.

3) Деление дробей выполняется умножением на обратную дробь:

\(\frac{A}{B} : \frac{C}{D} = \frac{A}{B}\cdot\frac{D}{C}= \frac{A\cdot D}{B\cdot C}.\)

4) Разность квадратов двух выражений:

\(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\).

5) Сокращение дробей:

\(\frac{k\cdot a}{k\cdot b}=\frac{a}{b}\).

1) Сразу можно определить недопустимые значения переменных для внутренних дробей:

а) \(x \neq 2;\)

б) \(x \neq -8.\)

Чтобы определить другие значения переменной \(x\), которые не являются допустимыми, нужно решит уравнения относительно знаменателей внешних дробей.

2) а) \(\displaystyle \frac{1}{3 - \frac{1}{x - 2}}\)

1) \(x - 2 \neq 0\)

\(x \neq 2.\)

2) \(3 - \frac{1}{x - 2} \neq 0 \)

\(\frac{1}{x - 2} \neq 3 \)

\(x - 2 \neq \frac{1}{3} \)

\(x \neq \frac{1}{3} + 2\)

\(x \neq 2\frac{1}{3}.\)

Ответ: выражение имеет смысл при всех значениях переменной \(x\), кроме \(2\) и \(2\frac{1}{3}.\)

б) \(\displaystyle \frac{6x}{2 + \frac{1}{x + 8}}\)

1) \(x + 8 \neq 0 \)

\(x \neq -8.\)

2) \(2 + \frac{1}{x + 8} \neq 0 \)

\(\frac{1}{x + 8} \neq -2 \)

\(x + 8 \neq -\frac{1}{2} \)

\(x \neq -0,5 - 8\)

\(x \neq -8,5.\)

Ответ: выражение имеет смысл при всех значениях переменной \(x\), кроме \(-8\) и \(-8,5.\)

Пояснения:

Использованные правила и приёмы:

• Для существования дроби необходимо, чтобы её знаменатель не был равен нулю.

• Если \(\displaystyle \frac{1}{a} \neq b\) (где \(b\neq0\)), то \(a \neq \frac{1}{b}.\)

В пункте а) сначала проверяем внутренний знаменатель \(x-2\neq0\), затем внешний \(3-\frac{1}{x-2}\neq0\), что даёт два недопустимых значения \(2\) и \(2\tfrac{1}{3}\).

В пункте б) сначала проверяем внутренний знаменатель \(x+8\neq0\), и затем внешний \(2+\frac{1}{x+8}\neq0\), что даёт два недопустимых значения \(-8\) и \(-8,5\).