Упражнение 697 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 149

Пояснения:

Чтобы представить выражение в виде многочлена, нужно выполнить умножение многочлена на многочлен.

Чтобы умножить многочлен на многочлен, можно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого и полученные произведения сложить (мы говорим об алгебраической сумме - выражение, которое можно представить в виде суммы положительных и отрицательных чисел). В решении выделены одинаковым цветом подобные слагаемые, их мы складываем (вычитаем), тем самым упрощая выражение.

Также, выполняя умножение многочлена на многочлен, помним, что при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели степени складывают, а основание оставляют тем же.

Решение:

а) \((3x-1)(5x+4) - 15x^2 = 17\)

\(15x^2 +12x -5x -4 -15x^2 = 17\)

\(7x - 4 = 17\)

\(7x = 17 +4\)

\(7x = 21\)

\(x = \frac{21}{7}\)

\(x = 3\)

Ответ: \(x = 3\).

б) \((1-2x)(1-3x) = (6x-1)x -1\)

\(1 -3x -2x +6x^2 = 6x^2 - x - 1\)

\(6x^2 -5x +1 = 6x^2 - x -1\)

\(6x^2 -6x^2 -5x + x = -1 -1\)

\(-4x = -2\)

\(x=\frac{\cancel2^{1}}{\cancel4_{2}}\)

\(x = \tfrac12\)

\(x = 0,5\)

Ответ: \(x = 0,5\)

в) \(12 - x(x-3) = (6-x)(x+2)\)

\(12 - x^2 +3x = 6x +12 - x^2 -2x\)

\(12 - x^2 +3x = -x^2 +4x +12\)

\(12 - x^2 +3x = -x^2 +4x +12\)

\(- x^2 +x^2 +3x -4x = 12 -12\)

\(-x = 0\)

\(x = 0\)

Ответ: \(x = 0\).

г) \((x+4)(x+1) = x - (x-2)(2-x)\)

\(x^2 +x +4x +4 =x - (2x-x^2 -4+2x)\)

\(x^2 +5x +4 = x - (-x^2 +4x -4)\)

\(x^2 +5x +4 = x +x^2 -4x +4\)

\(x^2 +5x +4 = x^2 -3x +4\)

\(x^2 -x^2 +5x +3x = 4 -4\)

\(8x = 0\)

\(x = 0\)

Ответ: \(x = 0\).

Пояснения:

Использованные правила:

1. Раскрытие произведения скобок:

\((a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd\).

2. Распределительное свойство умножения (раскрытие скобок):

\(x(y+z)=xy+xz\).

3. Вычитание многочленов: чтобы вычесть \((P(x) - Q(x))\), меняем знак у всех членов \(Q(x)\) и складываем с \(P(x)\).

4. Приведение подобных членов:

\(ax^2 + bx + cx^2 = (a+c)x^2 + bx\).

5. Перенос членов через знак «=»: если

\(A + C= B + D\), то \(A - D = B - C\).

6. Решение линейного уравнения:

из \(ax = b\) следует \(x = \tfrac{b}{a}\) при \(a\neq0\).

Пояснения к пунктам:

а) Раскрытие скобок дало \(15x^2+7x-4-15x^2\). Сокращение \(15x^2\) привело к \(7x-4\). Решение \(7x-4=17\) даёт \(x=3\).

б) Левую часть раскрывали как двучлен, правую – как произведение. После приведения подобных получили линейное уравнение \(-4x= -2\), откуда \(x=\tfrac12\).

в) Оба выражения содержали \(-x^2\) и число 12, они сократились, в оставшемся \(3x=4x\) получаем \(x=0\).

г) Раскрытие дало \(x^2+5x+4\) слева и \(x^2-3x+4\) справа. После сокращения противоположных членов получили \(8x=0\), откуда \(x=0\).