Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№1113 учебника 2023-2025 (стр. 221):
Разложите на множители:
а) \(15a^2 - 15b^2\);
б) \(29a^2 + 29b^2 + 58ab\);
в) \(10a^3 + 10b^3\);
г) \(18a^3 - 18b^3\);
д) \(47a^6 - 47b^6\);
е) \(51a^6 + 51b^6\).
№1113 учебника 2013-2022 (стр. 221):
За 3 ч по течению и 4 ч против течения теплоход проходит 380 км. За 1 ч по течению и 30 мин против течения теплоход проходит 85 км. Найдите собственную скорость теплохода и скорость течения.
№1113 учебника 2023-2025 (стр. 221):
Вспомните:
№1113 учебника 2013-2022 (стр. 221):
Вспомните:
№1113 учебника 2023-2025 (стр. 221):
а) \( 15a^2-15b^2 = 15\bigl(a^2 - b^2\bigr) =\)
\(=15\,(a-b)(a+b). \)
б) \( 29a^2+29b^2+58ab =\)
\(=29\bigl(a^2+b^2+2ab\bigr) =\)
\(=29\bigl(a^2+2ab+b^2\bigr) =\)
\(=29\,(a+b)^2. \)
в) \( 10a^3+10b^3 = 10\bigl(a^3+b^3\bigr) =\)
\(=10\,(a+b)\bigl(a^2-ab+b^2\bigr). \)
г) \( 18a^3-18b^3 = 18\bigl(a^3-b^3\bigr) =\)
\(=18\,(a-b)\bigl(a^2+ab+b^2\bigr). \)
д) \( 47a^6-47b^6 = 47\bigl(a^6-b^6\bigr) =\)
\(=47\bigl((a^3)^2-(b^3)^2\bigr) =\)
\(=47\,(a^3-b^3)(a^3+b^3) = \)
\(=47\,(a-b)\bigl(a^2+ab+b^2\bigr)\,(a+b)\bigl(a^2-ab+b^2\bigr). \)
е) \( 51a^6+51b^6 = 51\bigl(a^6+b^6\bigr) =\)
\(=51\bigl((a^2)^3+(b^2)^3\bigr) =\)
\(=51\,(a^2+b^2)\bigl(a^4 - a^2b^2 + b^4\bigr). \)
Пояснения:
Использованные формулы и приёмы:
1) Вынесение общего множителя:
\(c x + c y = c(x+ y)\),
\(c x - c y = c(x- y)\),
2) Разность квадратов:
\(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\).
3) Квадрат суммы:
\(a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2\).
4) Сумма и разность кубов:
\( a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)\),
\(a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2). \)
5) Свойство степени:
\((a^m)^n=a^{m\,\cdot\,n}\).
№1113 учебника 2013-2022 (стр. 221):
30 мин = 0,5 ч
Пусть \(x\) (км/ч) собственная скорость теплохода, а \(y\) (км/ч) - скорость течения. Тогда скорость по течению равна \(x+y\) (км/ч), а против течения — \(x - y\) (км/ч).
Составим систему уравнений:
\( \begin{cases} 3(x+y)+4(x-y)=380,\\ 1\cdot(x+y)+0{,}5\,(x-y)=85. \end{cases} \)
\( \begin{cases} 3x+3y+4x-4y=380,\\ x+y+0{,}5x-0{,}5y=85. \end{cases} \)
\( \begin{cases} 7x-y=380,\\ 1{,}5x+0{,}5y=85 / : 0,5 \end{cases} \)
\( \begin{cases} 7x-y=380,\\ 3x+y=170 \end{cases} \)
\( \begin{cases} 10x=550,\\ 3x+y=170 \end{cases} \)
\( \begin{cases} x=\frac{550}{10},\\ y=170 -3x \end{cases} \)
\( \begin{cases} x=55,\\ y=170-3\cdot55 \end{cases} \)
\( \begin{cases} x=55,\\ y=170-165 \end{cases} \)
\( \begin{cases} x=55,\\ y=5 \end{cases} \)
Ответ: собственная скорость теплохода 55 км/ч и скорость течения 5 км/ч.
Пояснения:
Использованные приёмы:
1) Введение переменных: \(x\) — собственная скорость лодки, \(y\) — скорость течения.
2) Составление системы уравнений. Чтобы найти расстояние, нужно скорость движения умножить на время в пути.
3) Раскрытие скобок, используя распределительное свойство умножения:
\(a(b+c)=ab+ac\).
4) Приведение подобных членов при преобразовании каждого уравнения:
\(ax + bx = (a + b)x\).
5) Решение системы методом сложения: складываем почленно уравнения системы так, чтобы в новом уравнении исчезла одна из переменных. Там, где необходимо, одно из уравнений или оба уравнения делим или умножаем на числа так, чтобы перед одной из переменных получить противоположные коэффициенты, которые при сложении приведут к сокращению выражений с этой переменной.
6) После сложения уравнений системы получается линейное уравнение с одной переменной, решение которого дает значение этой переменной.
7) Уравнение вида \(ax = b\) называется линейным и при \(a \neq 0\) имеет единственный корень \(x=\frac{b}{a}\).
8) Подстановка: после нахождения одной переменной подставляем её значение в одно из исходных уравнений для вычисления значения второй переменной.
Вернуться к содержанию учебника