Упражнение 1108 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \( \begin{cases} 5(x + 2y) - 3 = x + 5,\\ y + 4(x - 3y) = 50; \end{cases} \)

\( \begin{cases} 5x + 10y - 3 = x + 5,\\ y + 4x - 12y = 50; \end{cases} \)

\( \begin{cases} 5x - x + 10y = 5 + 3,\\  4x - 11y = 50; \end{cases} \)

\( \begin{cases} 4x + 10y = 8,   /\times(-1) \\  4x - 11y = 50; \end{cases} \)

\( \begin{cases} -4x - 10y = -8, \\  4x - 11y = 50; \end{cases} \)

\( \begin{cases} -21y = 42, \\  4x - 11y = 50; \end{cases} \)

\( \begin{cases} y =-\frac{42}{21}, \\  4x = 50 + 11y; \end{cases} \)

\( \begin{cases} y =-2, \\  4x = 50 + 11\cdot(-2); \end{cases} \)

\( \begin{cases} y =-2, \\  4x = 50 - 22; \end{cases} \)

\( \begin{cases} y =-2, \\  4x =28; \end{cases} \)

\( \begin{cases} y =-2, \\  x =\frac{28}{4}; \end{cases} \)

\( \begin{cases} y =-2, \\ x = 7; \end{cases} \)

Ответ: \(x = 7,\) \(y =-2\).

б) \( \begin{cases} 2{,}5(x - 3y) - 3 = -3x + 0{,}5,\\ 3(x + 6y) + 4 = 9y + 19. \end{cases} \)

\( \begin{cases} 2{,}5x - 7,5y - 3 = -3x + 0{,}5,\\ 3x + 18y + 4 = 9y + 19. \end{cases} \)

\( \begin{cases} 2{,}5x + 3x - 7,5y = 0{,}5 +3,\\ 3x + 18y - 9y = 19 - 4. \end{cases} \)

\( \begin{cases} 5,5x - 7,5y = 3{,}5,  / : 0,5 \\ 3x + 9y = 15.    / : 3 \end{cases} \)

\( \begin{cases} 11x - 15y = 7, \\ x + 3y = 5.     /\times5 \end{cases} \)

\( \begin{cases} 11x - 15y = 7, \\ 5x + 15y = 25. \end{cases} \)

\( \begin{cases} 16x = 32, \\ 5x + 15y = 25. \end{cases} \)

\( \begin{cases} x = \frac{32}{16}, \\ 15y = 25 - 5x. \end{cases} \)

\( \begin{cases} x = 2, \\ 15y = 25 - 5\cdot2. \end{cases} \)

\( \begin{cases} x = 2, \\ 15y = 25 - 10. \end{cases} \)

\( \begin{cases} x = 2, \\ 15y = 15. \end{cases} \)

\( \begin{cases} x = 2, \\ y = 1. \end{cases} \)

Ответ: \(x = 2, \) \( y = 1.\)

Пояснения:

Использованные правила и приёмы:

1) Раскрытие скобок, используя распределительное свойство умножения:

\(a(b+c)=ab+ac\).

2) Перенос членов из одной части уравнения в другую:

если \(a+b=c+d\), то \(a-d=c-b\).

3) Приведение подобных членов при преобразовании каждого уравнения:

\(ax + bx = (a + b)x\).

4) Решение системы методом сложения: складываем почленно уравнения системы так, чтобы в новом уравнении исчезла одна из переменных. Там, где необходимо, одно из уравнений или оба уравнения делим или умножаем на числа так, чтобы перед одной из переменных получить противоположные коэффициенты, которые при сложении приведут к сокращению выражений с этой переменной.

5) После сложения уравнений системы получается линейное уравнение с одной переменной, решение которого дает значение этой переменной.

6) Уравнение вида \(ax = b\) называется линейным и при \(a \neq 0\) имеет единственный корень \(x=\frac{b}{a}\).

7) Подстановка: после нахождения одной переменной подставляем её значение в одно из исходных уравнений для вычисления значения второй переменной.

Объяснение для (а):

В каждом уравнении системы раскрыли скобки и члены, содержащие переменные собрали с левой стороны уравнений, а без переменной - с правой.

Далее первое уравнение умножили на \(-1\), тем самым получили противоположные коэффициенты перед переменной \(x\). Затем сложили оба уравнения, так как коэффициенты при \(x\) в них равны по модулю и противоположны: \(-4x\) и \(4x\). В результате переменная \(x\) исчезла и получилось линейное уравнение

\(-21y = 42\), откуда \(y=-2\).

Затем подставили найденное значение \(y\) во второе уравнение для нахождения \(x\).

Объяснение для (б):

В каждом уравнении системы раскрыли скобки и члены, содержащие переменные собрали с левой стороны уравнений, а без переменной - с правой.

Далее первое уравнение разделили на \(0,5\), а второе - на 3, тем самым упростили и получили целые коэффициенты при переменных. После второе уравнение умножили на 5,  тем самым получили противоположные коэффициенты перед переменной \(y\). Затем сложили оба уравнения, так как коэффициенты при \(y\) в них равны по модулю и противоположны: \(-15y\) и \(15y\). В результате переменная \(y\) исчезла и получилось линейное уравнение

\(16x = 32\), откуда \(x=2\).

Затем подставили найденное значение \(x\) во второе уравнение для нахождения \(y\).

Пусть \(x\) (км/ч) скорость автомашины, а \(y\) (км/ч) скорость поезда.

Составим систему уравнений:

\( \begin{cases} 7y + 4x = 640,\\ y - x = 5   /\times4 \end{cases} \)

\( \begin{cases} 7y + 4x = 640,\\ 4y - 4x = 20 \end{cases} \)

\( \begin{cases} 11y  = 660,\\ 4y - 4x = 20 \end{cases} \)

\( \begin{cases} y  = \frac{660}{11},\\ 4x = 4y - 20 \end{cases} \)

\( \begin{cases} y  = 60,\\ 4x = 4\cdot60 - 20 \end{cases} \)

\( \begin{cases} y  = 60,\\ 4x = 240 - 20 \end{cases} \)

\( \begin{cases} y  = 60,\\ 4x = 220 \end{cases} \)

\( \begin{cases} y  = 60,\\ x = \frac{220}{4} \end{cases} \)

\( \begin{cases} y  = 60,\\ x =55 \end{cases} \)

Ответ: скорость поезда \(60\) км/ч.

Пояснения:

Используемые приёмы:

1) Введение переменных: \(x\) — скорость автомашины, \(y\) — скорость поезда.

2) Составление системы уравнений по условию задачи.

3) Решение системы методом сложения: складываем почленно уравнения системы так, чтобы в новом уравнении исчезла одна из переменных. После сложения уравнений системы получается линейное уравнение с одной переменной, решение которого дает значение этой переменной. Там, где необходимо, одно из уравнений или оба уравнения делим или умножаем на числа так, чтобы перед одной из переменных получить противоположные коэффициенты, которые при сложении приведут к сокращению выражений с этой переменной.

4) Уравнение вида \(ax = b\) называется линейным и при \(a \neq 0\) имеет единственный корень \(x=\frac{b}{a}\).

5) Подстановка: после нахождения одной переменной подставляем её значение в одно из исходных уравнений для вычисления значения второй переменной.