Упражнение 1114 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \( 2x(8x-1) - (4x+1)^2=\)

\(= 16x^2 - 2x - (16x^2 + 8x + 1)=\)

\(=\cancel{16x^2} - 2x - \cancel{16x^2} - 8x - 1 = \)

\(=-10x - 1. \)

б) \( 4(3y-1)^2 - 18y(2y-1) =\)

\(= 4\bigl(9y^2 - 6y + 1\bigr) - 36y^2 + 18y=\)

\(=\cancel{36y^2} - 24y + 4 - \cancel{36y^2} + 18y= \)

\(=-6y + 4. \)

Пояснения:

Использованные правила и приёмы:

1) Умножение одночлена на многочлен (распределительное свойство умножения):

\(a(b+c)=ab+ac\).

2) Формула квадрата суммы:

\(a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2\).

3) Раскрытие скобок со знаком «−»:

\(a - (b+c) = a - b - c\).

4) Сложение подобных членов: суммируем и вычитаем коэффициенты при одинаковых степенях переменной:

\(ax + bx = (a + b)x\).

5) Свойство степени:

\((ab)^n = a^nb^n\).

Пусть \(x\) число книг на первой полке, а \(y\) — на второй.

Составим систему уравнений:

\( \begin{cases} x + y = 55,\\ x + 0,5y = 4\cdot(y -0,5y). \end{cases} \)

\( \begin{cases} x + y = 55,\\ x + 0,5y = 4y - 2y. \end{cases} \)

\( \begin{cases} x + y = 55,\\ x + 0,5y = 2y. \end{cases} \)

\( \begin{cases} x + y = 55,\\ x + 0,5y - 2y =0. \end{cases} \)

\( \begin{cases} x + y = 55,\\ x - 1,5y =0    /\times(-1) \end{cases} \)

\( \begin{cases} x + y = 55,\\ -x + 1,5y =0 \end{cases} \)

\( \begin{cases} 2,5y = 55,\\ -x + 1,5y =0 \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = \frac{55}{2,5},\\ x = 1,5y \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = \frac{550}{25},\\ x = 1,5y \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = 22,\\ x = 1,5\cdot22 \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = 22,\\ x = 33 \end{cases} \)

Ответ: 33 книги на первой полке и 22 книги на второй полке.

Пояснения:

Использованные приёмы:

1) Введение переменных \(x\) и \(y\) для числа книг на первой и второй полках.

2) Составление системы из уравнения общей суммы и уравнения после перестановки книг.

3) Раскрытие скобок, используя распределительное свойство умножения:

\(a(b+c)=ab+ac\).

4) Перенос членов из одной части уравнения в другую:

если \(a+b=c+d\), то \(a-d=c-b\).

5) Приведение подобных членов при преобразовании уравнений:

\(ax + bx = (a + b)x\).

6) Решение системы методом сложения: складываем почленно уравнения системы так, чтобы в новом уравнении исчезла одна из переменных. Там, где необходимо, одно из уравнений или оба уравнения делим или умножаем на числа так, чтобы перед одной из переменных получить противоположные коэффициенты, которые при сложении приведут к сокращению выражений с этой переменной.

7) После сложения уравнений системы получается линейное уравнение с одной переменной, решение которого дает значение этой переменной.

8) Уравнение вида \(ax = b\) называется линейным и при \(a \neq 0\) имеет единственный корень \(x=\frac{b}{a}\).

9) Подстановка: после нахождения одной переменной подставляем её значение в одно из исходных уравнений для вычисления значения второй переменной.