Упражнение 1115 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 222

Пусть \(x\) га площадь под гречиху, а \(y\) га — под просо. Составим систему уравнений:

\( \begin{cases} x + y = 19,\\ x - y = 5. \end{cases} \)

\( \begin{cases} 2x = 24,\\ x - y = 5. \end{cases} \)

\( \begin{cases} x = \frac{24}{2},\\ y = x - 5. \end{cases} \)

\( \begin{cases} x = 12,\\ y = 12 - 5. \end{cases} \)

\( \begin{cases} x = 12,\\ y = 7. \end{cases} \)

Ответ: под гречиху отведено 12 га, под просо — 7 га.

Пояснения:

Использованные приёмы:

1) Введение переменных: \(x\) — площадь под гречиху, \(y\) — под просо.

2) Составление системы уравнений по условиям задачи.

3) Решение системы методом сложения: складываем почленно уравнения системы так, чтобы в новом уравнении исчезла одна из переменных. После сложения уравнений системы получается линейное уравнение с одной переменной, решение которого дает значение этой переменной.

4) Уравнение вида \(ax = b\) называется линейным и при \(a \neq 0\) имеет единственный корень \(x=\frac{b}{a}\).

5) Подстановка: после нахождения одной переменной подставляем её значение в одно из исходных уравнений для вычисления значения второй переменной.

Пусть \(x\) (г) вес одного слитка золота, а \(y\) (г) вес одного слитка серебра.

Составим систему уравнений:

\( \begin{cases} 9x = 11y,\\ (10y + x) - (8x + y) = 13 \end{cases} \)

\( \begin{cases} 9x - 11y =0,\\ 10y + x - 8x - y = 13 \end{cases} \)

\( \begin{cases} 9x - 11y = 0,   /\times7 \\ -7x + 9y = 13 /\times9 \end{cases} \)

\( \begin{cases} 63x - 77y = 0, \\ -63x + 81y = 117 \end{cases} \)

\( \begin{cases} 4y = 117, \\ -63x + 81y = 117 \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = \frac{117}{4}, \\ 63x = 81y - 117 \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = 29,25, \\ 63x = 81\cdot29,25 - 117 \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = 29,25, \\ 63x = 2369,25 - 117 \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = 29,25, \\ 63x = 2252,25 \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = 29,25, \\ x =\frac{2252,25}{63} \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = 29,25, \\ x =35,75 \end{cases} \)

Ответ: 35,75 г весит слиток золота, 29,25 г весит слиток серебра.

Пояснения:

Используемые приёмы:

1) Введение переменных \(x\) и \(y\) для весов слитков.

2) Составление системы уравнений. Первое уравнение равновесия:

\(9x = 11y\). Второе уравнение по разности после обмена слитков:

\((10y + x) - (8x + y) = 13\).

3) Раскрытие скобок с учетом знаков перед ними:

\(a - (b + c) = a - b - c\).

4) Приведение подобных членов:

\(ax + bx = (a + b)x\).

5) Решение системы методом сложения: складываем почленно уравнения системы так, чтобы в новом уравнении исчезла одна из переменных. Там, где необходимо, одно из уравнений или оба уравнения делим или умножаем на числа так, чтобы перед одной из переменных получить противоположные коэффициенты, которые при сложении приведут к сокращению выражений с этой переменной.

6) После сложения уравнений системы получается линейное уравнение с одной переменной, решение которого дает значение этой переменной.

7) Уравнение вида \(ax = b\) называется линейным и при \(a \neq 0\) имеет единственный корень \(x=\frac{b}{a}\).

8) Подстановка: после нахождения одной переменной подставляем её значение в одно из исходных уравнений для вычисления значения второй переменной.