Линейное уравнение с двумя переменными и его график

Определение 

Линейным уравнением с двумя переменными называют уравнение вида , где и - переменные, , , - некоторые числа.

Случай 1:

Допустим нам задано линейное уравнение , в котором . Оставим в левой части уравнения слагаемые, которые содержат переменную , остальные перенесем в правую часть, изменив их знак на противоположный, получим:

Так как по условию , то мы можем поделить обе части уравнения на , то есть запишем:

Обозначим коэффициенты следующим образом:

Тогда запишем

Но эта формула задает линейную функцию, графиком которой является невертикальная прямая, поэтому графиком уравнения , где , является невертикальная прямая.

Пример 1. Построим график уравнения

Решение: Данное уравнение является линейным уравнением с двумя переменными, у которого , значит, графиком данного уравнения является прямая, поэтому для построения графика достаточно определить координаты двух любых её точек. Если , то ; если , то . Теперь через точки А(0; 5) и В(2; 1) проведем прямую (рис. 1). Полученная прямая будет являться искомым графиком.

Случай 2:

Пусть задано линейное уравнение , в котором То есть мы получим уравнение вида

Пример 2. Построим график уравнения

Решение: Найдем несколько решений данного уравнения:

Очевидно, что любая пара чисел, которая имеет вид , и только она, где - произвольное число, является решением нашего уравнения. Откуда можно заключить, что искомый график содержит все точки, у которых абсцисса равна 4, а ордината - любое число, но все эти точки принадлежат прямой, которая перпендикулярна оси абсцисс и проходит через точку (4; 0) (рис. 2). Тогда решением данного уравнения будут пары чисел, которые являются координатами точек, принадлежащих полученной прямой.

То есть графиком уравнения вида , где , является вертикальная прямая.

В каждом из двух случаев: 1) ; 2)   и - графиком уравнения является прямая.

Случай 3:

Пусть задано линейное уравнение , в котором a=b=0, то есть имеем 0x+0y=c. Произведение любого числа на ноль равно нулю, а сумма двух выражений, равных нулю, равна нулю, значит, данное уравнение при с0 не имеет решений,  а значит, не существует точек, которые могли бы быть графиком данного уравнения.

Если с=0, то уравнение принимает вид:

0x+0y=0.

В этом случае любая пара чисел будет являться решением данного уравнения,  а значит, графиком уравнения будет являться вся координатная плоскость.

Советуем посмотреть:

Уравнения с двумя переменными

Системы уравнений с двумя переменными. Графический метод решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными

Решение систем линейных уравнений методом подстановки

Решение систем линейных уравнений методом сложения

Решение задач с помощью систем линейных уравнений

Введение в алгебру

Линейное уравнение с одной переменной

Решение задач с помощью уравнений

Тождественно равные выражения. Тождества

Степень с натуральным показателем

Свойства степени с натуральным показателем

Одночлены

Многочлены

Сложение и вычитание многочленов

Умножение одночлена на многочлен

Умножение многочлена на многочлен

Разложение многочленов на множители

Формулы сокращенного умножения

Рациональные выражения

Функции

Квадратные корни. Дейстительные числа

Квадратные уравнения

Системы линейных уравнений с двумя переменными

Элементы математической логики

Алгебра

Правило встречается в следующих упражнениях:

7 класс

Номер 972, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 980, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 985, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 989, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 994, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 1019, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 1059, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 1100, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 1114, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 1213, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

8 класс

Номер 91, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 134, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 173, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 205, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 302, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 310, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 371, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник