Упражнение 780 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

Пусть первый рабочий выполняет всю работу за \(x\) дней (\(x > 0\)), второй — за \(y\) дней (\(y > 0\)). За один день они выполнят \(\frac{1}{10}\) всей работы:

\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{10}\).

За 7 дней первый и второй рабочий вместе выполнят \(\dfrac{7}{10}\) всей работы, тогда второму рабочему за 9 дней останется выполнить \(1 - \dfrac{7}{10} = \dfrac{3}{10}\) всей работы, значит:

\( \dfrac{9}{y}= \dfrac{3}{10}\)

Составим систему уравнений:

\(\begin{cases} \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{10} \\[8pt] \dfrac{9}{y}= \dfrac{3}{10}  / : 9 \end{cases}\)

\(\begin{cases} \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{10} \\[8pt] \dfrac{1}{y}= \dfrac{1}{30} \end{cases}\)

\(\begin{cases} \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{30}=\dfrac{1}{10} \\[8pt] y = 30 \end{cases}\)

\(\begin{cases} \dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{10} ^{\color{blue}{\backslash3}} - \dfrac{1}{30} \\[8pt]y = 30 \end{cases}\)

\(\begin{cases} \dfrac{1}{x}=\dfrac{3}{30} - \dfrac{1}{30} \\[8pt]y = 30 \end{cases}\)

\(\begin{cases} \dfrac{1}{x}=\dfrac{2}{30} \\[8pt] y = 30 \end{cases}\)

\(\begin{cases} \dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{15} \\[8pt] y = 30 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x=15 \\[2pt] y = 30 \end{cases}\)

Ответ: первый за \(15\) дней, второй за \(30\) дней.

Пояснения:

1. Производительность.

Если рабочий выполняет работу за \(x\) дней, то за 1 день он делает \(\dfrac{1}{x}\) работы.

2. Совместная работа.

Если работают вместе, их производительности складываются:

\[\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{10}.\]

3. Нахождение оставшейся работы.

За 7 дней выполнено \(\dfrac{7}{10}\) всей работы, осталось \(\dfrac{3}{10}\).

4. Использование второго условия.

Второй рабочий один за 9 дней сделал \(\dfrac{3}{10}\) работы, поэтому:

\[\frac{9}{y}=\frac{3}{10}.\]

Отсюда \(y=30\).

5. Нахождение первого рабочего.

Подставляем \(y=30\) в первое уравнение и получаем \(x=15\).

\(C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}\)

\(n; k=2;C_n^2=378;\)

\(C_n^2=\frac{n!}{2!(n-2)!}=378\)

\(\frac{(n-2)!\cdot(n-1)n}{2(n-2)!}=378\)

\((n-1)n=756\)

\( n^2-n-756=0 \)

\( D=b^2-4ac=(-1)^2-4\cdot 1\cdot (-756)= \)

\(=1+3024=3025 \)

\( \sqrt{D}=55 \)

\(n_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\)

\(n_1=\frac{1+55}{2}=28 \)

\( n_2=\frac{1-55}{2}=-27 \) - не удовлетворяет условию.

Ответ: \(28\).

Пояснения:

Использованные правила:

1. Формула сочетаний:

\(C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}\)

2. Решение квадратного уравнения:

\[ D=b^2-4ac,\quad x=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a} \]

Рассуждение:

Если в классе \(n\) человек, то число способов выбрать двух дежурных равно:

\(C_n^2=\frac{n!}{2!(n-2)!}\)

По условию это число равно 378:

\(\frac{n!}{2!(n-2)!}=378.\)

Преобразуем и получаем квадратное уравнение. Находим дискриминант:

\( D=3025 \)

\( \sqrt{3025}=55 \)

Находим корни. Получаем два значения, но подходит только положительное:

\[ n=28 \]

Отрицательное значение не имеет смысла в задаче.

Таким образом, в классе 28 учащихся.