Упражнение 709 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(\dfrac{x^2-4x}{x^2+7x}:\dfrac{24-6x}{49-x^2}=\)

\(=\dfrac{x^2-4x}{x^2+7x}\cdot\dfrac{49-x^2}{24-6x}=\)

\(=\dfrac{x(x-4)}{x(x+7)}\cdot\dfrac{(7-x)(7+x)}{6(4-x)}=\)

\(=\dfrac{x-4}{x+7}\cdot\dfrac{(x-7)(x+7)}{6(x-4)}=\)

\(=\dfrac{\cancel{(x-4)}\cdot(x-7)\cancel{(x+7)}}{\cancel{(x+7)}\cdot6\cancel{(x-4)}}=\)

\(=\dfrac{x-7}{6}.\)

б) \(\dfrac{y^3-16y}{2y+18}:\dfrac{4-y}{y^2+9y}=\)

\(=\dfrac{y^3-16y}{2y+18}\cdot\dfrac{y^2+9y}{4-y}=\)

\(=\dfrac{y(y^2-16)}{2(y+9)}\cdot\dfrac{y(y+9)}{4-y}=\)

\(=\dfrac{y(y-4)(y+4)}{2(y+9)}\cdot\dfrac{y(y+9)}{-(y-4)}=\)

\(=-\dfrac{y\cancel{(y-4)}(y+4)\cdot y\cancel{(y+9)}}{2\cancel{(y+9)}\cdot\cancel{(y-4)}}=\)

\(=-\dfrac{y^2(y+4)}{2}=-\frac{y^3+4y^2}{2}\)

в) \(\dfrac{(a+b)^2-2ab}{4a^2}:\dfrac{a^2+b^2}{ab}=\)

\(=\dfrac{(a+b)^2-2ab}{4a^2}\cdot\dfrac{ab}{a^2+b^2}=\)

\(=\dfrac{a^2+2ab+b^2-2ab}{4a^2}\cdot\dfrac{ab}{a^2+b^2}=\)

\(=\dfrac{a^2+b^2}{4a^2}\cdot\dfrac{ab}{a^2+b^2}=\)

\(=\dfrac{\cancel{(a^2+b^2)}\cdot \cancel{a}b}{4a^{\cancel2}\cdot\cancel{(a^2+b^2)}}=\dfrac{b}{4a}.\)

г) \(\dfrac{5c^3-5}{c+2}:\dfrac{(c+1)^2-c}{13c+26}=\)

\(=\dfrac{5c^3-5}{c+2}\cdot\dfrac{13c+26}{(c+1)^2-c}=\)

\(=\dfrac{5(c^3-1)}{c+2}\cdot\dfrac{13(c+2)}{c^2+c+1}=\)

\(\small=\dfrac{5(c-1)(c^2+c+1)}{c+2}\cdot\dfrac{13(c+2)}{c^2+c+1}=\)

\(\small=\dfrac{5(c-1)\cancel{(c^2+c+1)}\cdot13\cancel{(c+2)}}{\cancel{(c+2)}\cdot\cancel{(c^2+c+1)}}=\)

\(=65(c-1).\)

Пояснения:

Используемые правила и формулы

1) Разность квадратов двух выражений:

\[a^2-b^2=(a-b)(a+b)\]

2) Квадрат разности двух выражений:

\[(a-b)^2=a^2-2ab+b^2\]

3) Разность кубов двух выражений:

\[a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\]

4)  Деление дробей:

\(\dfrac{A}{B}:\dfrac{C}{D}=\dfrac{A}{B}\cdot\dfrac{D}{C}\)

5) При умножении дробей перемножают числители и знаменатели:

\(\frac{A}{B}\cdot\frac{C}{D}=\frac{A\cdot C}{B\cdot D}.\)

После умножения выполняют сокращение общих множителей в числителе и знаменателе, если это возможно.

6)  Свойство степени:

\(a^ma^n=a^{m+n}\);

\(a^m : a^n = \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\).

а) Сначала заменили деление на умножение на обратную дробь. Затем разложили на множители:

\(x^2-4x=x(x-4)\),

\(\;x^2+7x=x(x+7)\),

\(\;49-x^2=(7-x)(7+x)\),

\(\;24-6x=6(4-x)\).

Далее учли знаки:

\(7-x=-(x-7)\), \(4-x=-(x-4)\).

После чего сократили общие множители \((x-4)\) и \((x+7)\).

б) После перехода к умножению разложили:

\(y^3-16y=y(y^2-16)=y(y-4)(y+4)\),

\(\;2y+18=2(y+9)\),

\(\;y^2+9y=y(y+9)\),

\(\;4-y=-(y-4)\).

Сократили \((y+9)\) и \((y-4)\), знак «минус» остался из-за \(\,4-y=-(y-4)\).

в) В числителе первой дроби раскрыли квадрат суммы и привели подобные:

\((a+b)^2-2ab=a^2+2ab+b^2-2ab=a^2+b^2\).

После замены деления умножением сократился общий множитель \((a^2+b^2)\), осталось \(\dfrac{ab}{4a^2}=\dfrac{b}{4a}\).

г) Разложили:

\(5c^3-5=5(c^3-1)=5(c-1)(c^2+c+1)\),

\((c+1)^2-c=c^2+2c+1-c=c^2+c+1\),

\(13c+26=13(c+2)\).

После умножения на обратную дробь сократились \((c+2)\) и \((c^2+c+1)\), получилось \(65(c-1)\).

\(b_n\) и \(b_m\) — члены геометрической прогрессии, \(q\) - ее знаменатель.

Доказать:

\(b_n=b_mq^{\,n-m}\).

Доказательство:

\(b_n=b_1q^{n-1},\)

\(b_m=b_1q^{m-1},\Rightarrow b_1=\frac{b_m}{q^{m-1}}\)

\(b_n=\frac{b_m}{q^{m-1}}\cdot q^{n-1}=\)

\(=b_m\cdot\frac{q^{n-1}}{q^{m-1}}=\)

\(=b_mq^{(n-1)-(m-1)}=\)

\(=b_mq^{n-1-m+1}=b_mq^{\,n-m}\)

Пояснения:

Правила, которые используются:

\[b_k=b_1q^{\,k-1}\]

\[\frac{q^a}{q^b}=q^{a-b}\]

\[q^a\cdot q^b=q^{a+b}\]

Так как дана геометрическая прогрессия со знаменателем \(q\), любой её член выражается через первый по формуле \(\,b_k=b_1q^{k-1}\).

Записываем отдельно выражения для членов с номерами \(n\) и \(m\):

\[b_n=b_1q^{n-1},\quad b_m=b_1q^{m-1}\]

Из второй формулы выражаем \(b_1\), чтобы подставить в первую:

\[b_m=b_1q^{m-1}\Rightarrow b_1=\frac{b_m}{q^{m-1}}\]

Подставляем найденное \(b_1\) в выражение для \(b_n\):

\[b_n=\frac{b_m}{q^{m-1}}\cdot q^{n-1}\]

Теперь используем правило степеней: при делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются, то есть \(\frac{q^{n-1}}{q^{m-1}}=q^{(n-1)-(m-1)}\).

Получаем:

\[b_n=b_mq^{(n-1)-(m-1)}=b_mq^{n-m}\]

Следовательно, для любых двух членов геометрической прогрессии выполняется равенство \(\,b_n=b_mq^{\,n-m}\).