Упражнение 714 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \((4x^{-2}y^3)^2\cdot(0{,}5x^2y^{-1})^3=\)

\(=4^2x^{-4}y^6\cdot0{,}5^3x^6y^{-3}=\)

\(=16x^{-4}y^6\cdot0{,}125x^6y^{-3}=\)

\(=2x^{2}y^{3}.\)

б) \(\left(\dfrac{c^4}{6x^2y^{-5}}\right)^{-2}\cdot\left(\dfrac{1}{3}c^2x^3y^{-2}\right)^4=\)

\(=\left(\dfrac{6x^2y^{-5}}{c^4}\right)^{2}\cdot\left(\dfrac{1}{3}c^2x^3y^{-2}\right)^4=\)

\(=\dfrac{36x^4y^{-10}}{c^8}\cdot\dfrac{1}{81}c^8x^{12}y^{-8}=\)

\(=\dfrac{4x^{16}y^{-10}}{y^{18}}.\)

в) \((0{,}25a^{-3}b^4)^{-2}\cdot(2a^5b^{-6})^{-1}=\)

\(=0{,}25^{-2}a^6b^{-8}\cdot2^{-1}a^{-5}b^{6}=\)

\(=\bigg(\frac14\bigg)^{-2}a^6b^{-8}\cdot\bigg(\frac12\bigg)a^{-5}b^{6}=\)

\(=16a^6b^{-8}\cdot\dfrac{1}{2}a^{-5}b^{6}=\)

\(=8ab^{-2}=\dfrac{8a}{b^2}.\)

г) \(\left(\dfrac{0{,}1a^{-2}}{b^{-1}c^3}\right)^5\cdot\left(\dfrac{b^5}{10a^4c^6}\right)^{-3}=\)

\(=\left(\dfrac{b}{10c^3a^{2}}\right)^5\cdot\left(\dfrac{10a^4c^6}{b^5}\right)^{3}=\)

\(=\dfrac{b^5}{10^5c^{15}a^{10}}\cdot\dfrac{10^3a^{12}c^{18}}{b^{15}}=\)

\(=\frac{a^2c^3}{100b^{10}}.\)

Пояснения:

Используемые правила степеней:

\[(a^m)^n=a^{mn}\]

\[a^m\cdot a^n=a^{m+n}\]

\[\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\]

\[a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}\]

\(\bigg(\frac{a}{b}\bigg)^{-n}=\bigg(\frac{b}{a}\bigg)^{n}\)

Все возможные обеды:

а) \( \text{борщ} \) и \( \text{гуляш} \)

б) \( \text{борщ} \) и \( \text{котлеты} \)

в) \( \text{борщ} \) и \( \text{сосиски} \)

г) \( \text{борщ} \) и \( \text{пельмени} \)

д) \( \text{рассольник} \) и \( \text{гуляш} \)

е) \( \text{рассольник} \) и \( \text{котлеты} \)

ж) \( \text{рассольник} \) и \( \text{сосиски} \)

з) \( \text{рассольник} \) и \( \text{пельмени} \)

Всего обедов:

\[ 2 \cdot 4 = 8 \]

Пояснения:

Пусть имеется \(n\) элементов и требуется выбрать из них один за другим \(k\) элементов. Если первый элемент можно выбрать \(n_1\) способами, после чего второй элемент можно выбрать \(n_2\) способами из оставшихся, затем третий элемент можно выбрать \(n_3\) способами из оставшихся и т. д., то число способов, которыми могут быть выбраны все \(k\) элементов, равно произведению  \(n_1\cdot n_2\cdot n_3\cdot\dots\cdot n_k.\) 

Здесь:

\[n_1 = 2 \]

так как есть два первых блюда: \( \text{борщ} \) и \( \text{рассольник} \).

\[ n_2 = 4 \]

так как есть четыре вторых блюда: \( \text{гуляш} \), \( \text{котлеты} \), \( \text{сосиски} \), \( \text{пельмени} \).

Поэтому количество всех возможных обедов равно:

\[ 2 \cdot 4 = 8 \]

Дерево вариантов помогает это увидеть наглядно.

От слова \( \text{Обед} \) идут две ветви: \( \text{борщ} \) и \( \text{рассольник} \).

От каждой такой ветви идут ещё по четыре ветви ко вторым блюдам.

Каждый путь по дереву от начала до конца даёт один возможный обед.

Например:

\[ \text{Обед} \rightarrow \text{Борщ} \rightarrow \text{Котлеты} \]

Это один вариант обеда: \( \text{борщ и котлеты} \).

Таким же образом получаются и остальные варианты.

Ответ: посетитель может заказать \(8\) различных обедов.