Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№685 учебника 2023-2026 (стр. 189):
Имеется два сорта сливок — жирностью 10% и 20%. Их смешали в отношении 3 : 1. Какова жирность получившихся сливок?
№685 учебника 2014-2022 (стр. 177):
Найдите сумму, слагаемыми которой являются последовательные члены арифметической прогрессии:
а) \(2+6+10+\dots+198\);
б) \(95+85+75+\dots+(-155).\)
№685 учебника 2023-2026 (стр. 189):
№685 учебника 2014-2022 (стр. 177):
Вспомните:
№685 учебника 2023-2026 (стр. 189):
1) Пусть \(m\) - масса сливок жирностью 20%.
Тогда \(3m\) - масса сливок жирностью 10%.
2) \(0{,}1\cdot3m=0{,}3m\) - масса жира в сливках жирностью 10%.
3) \(0{,}2\cdot m=0{,}2m\) - масса жира в сливках жирностью 20%.
4) \(0{,}3m+0{,}2m=0{,}5m\) - общая масса жира.
5) \(3m+m=4m\) - общая масса сливок.
6) \(\dfrac{0{,}5m}{4m}\cdot100\%=0{,}125\cdot100\%=12{,}5\%\) - жирность получившихся сливок.
Ответ: \(12,5\%.\)
Пояснения:
Используемые правила:
1) Процент переводится в десятичную дробь: \(10\%=0{,}1,\ 20\%=0{,}2\).
2) Масса жира равна произведению массы сливок на их жирность.
3) При смешивании общая масса равна сумме масс, а общая масса жира — сумме масс жира.
4) Жирность смеси вычисляется по формуле:
\[\text{жирность}=\frac{\text{масса жира}}{\text{общая масса}}\cdot100\%.\]
№685 учебника 2014-2022 (стр. 177):
а) \(2+6+10+\dots+198\)
\(a_1=2,\ a_2 = 6\),
\(d=a_2 - a_1=6-2=4,\)
\(a_n=198\)
\(a_n = a_1 + d(n-1)\)
\(2+(n-1)\cdot 4=198\)
\(4(n-1)=198-2\)
\(4(n-1)=196\)
\(n - 1 = \frac{196}{4}\)
\(n - 1 = 49\)
\(n = 49 + 1\)
\(n=50\)
\(S_n=\dfrac{(a_1+a_n)}{2}\,n\)
\(S_{50}=\dfrac{(a_1+a_{50})}{2}\cdot50 = \)
\(=\dfrac{(2+198)\cdot\cancel{50} ^{\color{blue}{25}} }{\cancel2}=\)
\(=200\cdot 25=5000\).
Ответ: \(5000\).
б) \(95+85+75+\dots+(-155)\)
\(a_1=95,\ a_2 = 85,\)
\(d=a_2 - a_1=85-95=-10,\)
\(a_n=-155\)
\(a_n = a_1 + d(n-1)\)
\(95+(n-1)\cdot(-10)=-155\)
\(-10(n-1)=-155-95\)
\(-10(n-1) = -250\)
\(n - 1 = \frac{-250}{-10}\)
\(n-1 = 25\)
\(n=25+1\)
\(n=26\)
\(S_n=\dfrac{(a_1+a_n)}{2}\,n\)
\(S_{26}=\dfrac{(a_1+a_{26})}{2}\cdot26=\)
\(=\dfrac{(95+(-155))\cdot\cancel{26} ^{\color{blue}{13}} }{\cancel2}=\)
\(=-60\cdot13=-780\)
Ответ: \(-780\).
Пояснения:
Арифметическая прогрессия задаётся первым членом \(a_1\) и разностью \(d\), которая равна разности между вторым и первым членами:
\[d=a_2-a_1.\]
Формула \(n\)-го члена арифметической прогрессии:
\[a_n=a_1+(n-1)d.\]
Формула суммы первых \(n\) членов арифметической прогрессии:
\[S_n=\frac{(a_1+a_n)}{2}\,n.\]
а) Сначала находим количество слагаемых \(n\), решая уравнение для последнего члена прогрессии \(a_n = 198\). После этого используем формулу суммы через первый и последний члены прогрессии.
б) Последовательность убывает, так как разность отрицательная. Количество членов также находится из формулы \(n\)-го члена, затем применяется формула суммы через первый и последний члены прогрессии.
Вернуться к содержанию учебника