Вернуться к содержанию учебника
Упростите выражение:
а) \((\sqrt{15}+\sqrt{10})\cdot2\sqrt{5}-5\sqrt{12};\)
б) \(\dfrac{2\sqrt{70}-2\sqrt{28}}{3\sqrt{35}-3\sqrt{14}};\)
в) \((2\sqrt{12}-3\sqrt{3})^2;\)
г) \(\dfrac{10-5\sqrt{3}}{10+5\sqrt{3}}+\dfrac{10+5\sqrt{3}}{10-5\sqrt{3}}.\)
Вспомните:
а) \(\small (\sqrt{15}+\sqrt{10})\cdot2\sqrt{5}-5\sqrt{12}=\)
\(\small =(\sqrt{5}\cdot\sqrt{2}+\sqrt{5}\cdot\sqrt{3})\cdot2\sqrt{5}-10\sqrt{3}=\)
\(\small =(\sqrt{2}+\sqrt{3})\cdot\sqrt{5} \cdot2\sqrt{5}-10\sqrt{3}=\)
\(\small =(\sqrt{2}+\sqrt{3}) \cdot10-10\sqrt{3}=\)
\(\small =10\sqrt{2}+10\sqrt{3}-10\sqrt{3}=10\sqrt{2}.\)
б) \(\dfrac{2\sqrt{70}-2\sqrt{28}}{3\sqrt{35}-3\sqrt{14}}=\)
\(=\dfrac{2\sqrt{2}\cdot\sqrt{35}-2\sqrt{2}\cdot\sqrt{14}}{3\sqrt{35}-3\sqrt{14}}=\)
\(=\dfrac{2\sqrt{2}(\sqrt{35}-\sqrt{14})}{3(\sqrt{35}-\sqrt{14})}=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}.\)
\(\dfrac{2(\sqrt{70}-\sqrt{28})}{3(\sqrt{35}-\sqrt{14})}\)
\(\sqrt{70}=\sqrt{35\cdot2}=\sqrt{35}\sqrt{2}\)
\(\sqrt{28}=\sqrt{14\cdot2}=\sqrt{14}\sqrt{2}\)
\(\dfrac{2\sqrt{2}(\sqrt{35}-\sqrt{14})}{3(\sqrt{35}-\sqrt{14})}\)
\(\dfrac{2\sqrt{2}}{3}\)
в) \(\small (2\sqrt{12}-3\sqrt{3})^2=(4\sqrt{3}-3\sqrt{3})^2=\)
\(=(\sqrt{3})^2=3\)
г) \(\small \dfrac{10-5\sqrt{3}}{10+5\sqrt{3}}^{\color{red}{\backslash{(10-5\sqrt{3})}}}+\dfrac{10+5\sqrt{3}}{10-5\sqrt{3}}^{\color{red}{\backslash{(10+5\sqrt{3})}}}=\)
\(\small=\dfrac{(10-5\sqrt{3})^2+(10+5\sqrt{3})^2}{(10+5\sqrt{3})(10-5\sqrt{3})}=\)
\(\small =\dfrac{100-100\sqrt{3}+75+100+100\sqrt{3}+75}{10^2-(5\sqrt{3})^2}=\)
\(\small =\dfrac{350}{100-75}=\frac{350}{25}=14.\)
Пояснения:
Используемые правила:
1) \(\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\).
2) При умножении корней перемножаются подкоренные выражения.
3) Формула квадрата разности и суммы:
\[(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2.\]
4) Произведение разности и суммы двух выражений:
\((a-b)(a+b)=a^2-b^2.\)
Вернуться к содержанию учебника