Упражнение 662 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(8{,}2;\ 7{,}4;\ \dots\) - арифметическая прогрессия.

\(a_1=8{,}2,  \, a_2=7{,}4\)

\(d=a_2 - a_1=7{,}4-8{,}2=-0{,}8\)

\(a_n = a_1 + (n-1)d\)

\(a_n=8{,}2+(n-1)\cdot(-0{,}8)\)

\(a_n > 0\)

\(8{,}2-0{,}8(n-1)>0\)

\(-0{,}8(n-1)>-8{,}2\)  \(/\times (-1)\)

\(0{,}8(n-1)<8{,}2\)    \(/ : 0,8\)

\(n - 1 < \frac{82}{8}\)

\(n - 1 < \frac{8,2}{0,8}\)

\(n-1<10{,}25\)

\(n < 10,25 + 1\)

\(n < 11,25\)

\(n=11\) - номер последнего положительного члена.

\(a_{11}=8{,}2-10\cdot0{,}8=8,2 - 8=0{,}2\)

\(S_n=\dfrac{a_1+a_n}{2}\cdot n\)

\(S_{11}=\dfrac{8,2 + 0,2}{2}\cdot 11=\)

\(=\dfrac{ ^{\color{blue}{4,2}} \cancel{8,4}\cdot11}{\cancel2}=4,2\cdot11 = 46,2\)

Ответ: \(46,2\).

б) \(-6{,}5;\ -6;\ \dots\) - арифметическая прогрессия.

\(a_1=-6{,}5,\quad a_2 = -6\)

\(d=a_2 - a_1=-6-(-6{,}5)=\)

\(=-6 + 6,5 = 0{,}5\).

\(a_n = a_1 + (n-1)d\)

\(a_n=-6{,}5+(n-1)\cdot0{,}5\)

\(a_n < 0\)

\(-6{,}5+0{,}5(n-1)<0\)

\(0{,}5(n-1)<6{,}5\)

\(n-1<13\)

\(n < 13 + 1\)

\(n < 14\)

\(n=13\) - номер последнего отрицательного члена.

\(a_{13}=-6{,}5+12\cdot0{,}5=\)

\(=-6,5+ 6=-0{,}5\).

\(S_n=\dfrac{a_1+a_n}{2}\cdot n\)

\(S_{13}=\dfrac{-6,5 + (-0,5)}{2}\cdot 13=\)

\(=\dfrac{-7\cdot13}{2}=\dfrac{-91}{2} = -45,5\).

Ответ: \(-45{,}5\)

Пояснения:

Используемые правила и формулы:

1) Формула \(n\)-го члена арифметической прогрессии:

\[a_n=a_1+(n-1)d.\]

2) Формула суммы первых \(n\) членов арифметической прогрессии:

\(S_n=\dfrac{a_1+a_n}{2}\cdot n\).

3) Чтобы найти сумму только положительных или только отрицательных членов, сначала определяется последний такой член с помощью неравенства.

а) Положительные члены.

Так как прогрессия убывающая, положительные члены идут подряд, начиная с первого. Последний положительный член определяется условием \(a_n>0\).

б) Отрицательные члены.

Так как прогрессия возрастающая, отрицательные члены также идут подряд, начиная с первого. Последний отрицательный член находится из условия \(a_n<0\).

\[1^3+2^3+3^3+\ldots+n^3=\dfrac{n^2(n+1)^2}{4}\]

Если \(n = 1\), то

\[1^3=\dfrac{1^2(1+1)^2}{4}\]

\[1=\dfrac{1\cdot2^2}{4}\]

\[1=\dfrac{4}{4}\]

\(1 = 1\) - верно.

Если \(n=2\), то

\(1^3+2^3=\dfrac{2^2(2+1)^2}{4}\)

\(1+8=\dfrac{4\cdot3^2}{4}\)

\(9=\dfrac{\cancel4\cdot3^2}{\cancel4}\)

\(9=9\) - верно.

Если \(n=3\), то

\(1^3+2^3+3^3=\dfrac{3^2(3+1)^2}{4}\)

\(1+8+27=\dfrac{9\cdot4^2}{4}\)

\(36 = \dfrac{9\cdot\cancel{16}  ^{\color{blue}{4}} }{\cancel4}\)

\(36 = 36\) - верно.

Доказательство:

1) При \(n = 1\) формула верна.

2) Пусть при \(n = k\) верно:

\(1^3+2^3+\ldots+k^3=\dfrac{k^2(k+1)^2}{4}\)

Тогда для \(n = k+1\):

\(1^3+2^3+\ldots+k^3+(k+1)^3=\)

\(\dfrac{k^2(k+1)^2}{4}+(k+1)^3  ^{\color{blue}{\backslash4}} =\)

\(=\dfrac{(k+1)^2\cdot k^2}{4}+\dfrac{4(k+1)^3}{4}=\)

\(=\dfrac{(k+1)^2\cdot k^2 + 4(k+1)^3}{4}=\)

\(=\dfrac{(k+1)^2\left(k^2+4(k+1)\right)}{4}=\)

\(=\dfrac{(k+1)^2\left(k^2+4k+4\right)}{4}=\)

\(=\dfrac{(k+1)^2(k+2)^2}{4} =\)

\(=\dfrac{(k+1)^2((k+1)+1)^2}{4}\)

Значит, формула верна для \(n =k+1\), тогда она верна при любом натуральном \(n\).

Что и требовалось доказать.

Пояснения:

Сначала формулу проверяют подстановкой небольших значений \(n\). Это показывает, что равенство действительно выполняется для \(n=1,2,3\).

Чтобы доказать формулу для всех натуральных \(n\), используется математическая индукция.

1) База индукции: проверяем верность формулы при \(n=1\).

2) Индукционный шаг: предполагаем, что формула верна для некоторого \(n=k\), и доказываем, что она верна для \(n=k+1\). Для этого к обеим частям суммы добавляется \((k+1)^3\), затем выражение приводится к общему знаменателю и упрощается до нужного вида \(\dfrac{(k+1)^2((k+1)+1)^2}{4}\).

После выполнения этих двух шагов делаем вывод, что формула справедлива для любого натурального \(n\).