Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№659 учебника 2023-2026 (стр. 185):
Найдите натуральное число, которое:
а) в 5 раз меньше суммы предшествующих ему натуральных чисел;
б) равно сумме предшествующих ему натуральных чисел.
№659 учебника 2014-2022 (стр. 172):
Сократите дробь:
а) \(\dfrac{2^{n+2}-2^{\,n-2}}{2^n}\);
б) \(\dfrac{25^n-5^{2n-1}}{5^{2n}}\).
№659 учебника 2023-2026 (стр. 185):
Вспомните:
№659 учебника 2014-2022 (стр. 172):
№659 учебника 2023-2026 (стр. 185):
а) Пусть \(n\) - искомое натуральное число.
\(1; 2; 3; \dots; n\) - арифметическая прогрессия с разностью \(d = 1\).
\(a_1 = 1\), \(a_n = n\)
\(S_{n-1} \) - сумма чисел от 1 до \(n\).
\(5a_n = S_{n-1}\)
\(S_{n-1} = \frac{2a_1 + d(n-1-1)}{2}\cdot(n-1)=\)
\(=\frac{2\cdot1+ 1\cdot(n - 2)}{2} \cdot (n-1) = \)
\(=\frac{2 + n - 2}{2} \cdot (n - 1)=\)
\(=\frac{n(n-1)}{2}\).
\(5n = \frac{n(n-1)}{2}\) \(/\times2\)
\(10n = n(n-1)\)
\(10n = n^2 - n\)
\(n^2 - n - 10 n = 0\)
\(n^2 - 11n = 0\)
\(n(n - 11) = 0\)
\(n = 0 \notin N\) или \(n - 11 = 0\)
\(n = 11 \in N\)
Ответ: число \(11\).
б) Пусть \(n\) - искомое натуральное число.
\(1; 2; 3; \dots; n\) - арифметическая прогрессия с разностью \(d = 1\).
\(a_1 = 1\), \(a_n = n\)
\(S_{n-1} \) - сумма чисел от 1 до \(n\).
\(a_n = S_{n-1}\)
\(S_{n-1} = \frac{2a_1 + (n-1-1)d}{2}\cdot(n-1)=\)
\(=\frac{2\cdot1+ (n - 2)\cdot1}{2} \cdot (n-1) = \)
\(=\frac{2 + n - 2}{2} \cdot (n - 1)=\)
\(=\frac{n(n-1)}{2}\).
\(n = \frac{n(n-1)}{2}\) \(/\times2\)
\(2n = n(n - 1)\)
\(2n = n^2 - n\)
\(n^2 - n - 2n = 0\)
\(n^2 -3n = 0\)
\(n(n - 3) = 0\)
\(n = 0 \notin N\) или \(n - 3 = 0\)
\(n = 3 \in N\)
Ответ: число \(3\).
Пояснения:
Используемые правила и формулы:
1) Все натуральные числа образуют арифметическую прогрессию с разностью \(d=1\).
2) Формула суммы первых \(n\) членов арифметической прогрессии:
\(S_{n} = \frac{2a_1 + d(n - 1)}{2} \cdot n\).
3) Для натурального числа \(n\) сумма предшествующих ему чисел равна сумме от \(1\) до \(n-1\).
4) Неполное квадратное уравнение
\(ax^2 + bx = 0\)
решается через разложение на множители (выносим \(x\) за скобки), а затем учитываем то, что произведение равно нулю только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
№659 учебника 2014-2022 (стр. 172):
а) \(\small \dfrac{2^{n+2}-2^{n-2}}{2^n} =\dfrac{2^{n}\cdot2^2-2^{n}\cdot2^{-2}}{2^n}=\)
\(\small =\dfrac{\cancel{2^{n}}(2^2-2^{-2})}{\cancel{2^n}}=4-\frac14=3\frac34\)
б) \(\small \dfrac{25^n-5^{2n-1}}{5^{2n}} = \dfrac{5^{2n}-5^{2n-1}}{5^{2n}} =\)
\(\small = \dfrac{\cancel{5^{2n}}(1-5^{-1})}{\cancel{5^{2n}}} =1-\frac15=\frac45.\)
Пояснения:
Используемые правила степеней:
\(a^{m+k}=a^m\cdot a^k\)
\(\frac{a^m}{a^k}=a^{m-k}\)
\(a^{-m}=\frac{1}{a^m}\)
В пункте а) из числителя выносится степень \(2^{n}\), после чего выполняется сокращение дроби на \(2^n\).
В пункте б) число \(25^n\) заменяется на \(5^{2n}\), затем в числителе выносится общий множитель \(5^{2n}\) и выполняется сокращение с знаменателем.
В обоих пунктах дроби приводятся к виду, не содержащему степеней с переменной.
Вернуться к содержанию учебника