Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№646 учебника 2023-2026 (стр. 183):
Дана арифметическая прогрессия, первый член которой равен \(2\frac{3}{4}\), а разность равна \(\frac{2}{5}\). Является ли членом этой прогрессии число:
а) \(14\frac{3}{4}\);
б) \(8{,}35\)?
№646 учебника 2014-2022 (стр. 168):
Найдите координаты точки, принадлежащей графику уравнения \(x^2 - y^2 = 30\), если известно, что их сумма равна 5.
№646 учебника 2023-2026 (стр. 183):
Вспомните:
№646 учебника 2014-2022 (стр. 168):
Вспомните:
№646 учебника 2023-2026 (стр. 183):
а) \((a_n)\) - арифметическая прогрессия.
\(a_1 = 2\frac34 = \frac{11}{4}\), \(d = \frac25\).
\[a_n=a_1+(n-1)d\]
\(a_n = 14\frac{3}{4} =\frac{59}{4}\)
\(\frac{11}{4}+(n-1)\cdot\frac{2}{5}=\frac{59}{4}\)
\(\frac{11}{4}+\frac{2(n-1)}{5}=\frac{59}{4}\)
\(\frac{2(n-1)}{5}=\frac{59}{4}-\frac{11}{4}\)
\(\frac{2(n-1)}{5}=\frac{48}{4}\)
\(\frac{2(n-1)}{5}=12\) \(/\times5\)
\(2(n-1)=60\) \(/ : 2\)
\(n-1=30\)
\(n = 30 + 1\)
\(n=31 \in N\)
Ответ: число \(14\frac{3}{4}\) является членом прогрессии.
б) \((a_n)\) - арифметическая прогрессия.
\(a_1 = 2\frac34 = 2,75\),
\(d = \frac25 = 0,4\).
\[a_n=a_1+(n-1)d\]
\(a_n = 8,35\)
\(2,75 + (n - 1)\cdot0,4 = 8,35\)
\((n - 1)\cdot0,4 = 8,35 - 2,75\)
\((n - 1)\cdot0,4 =5,6\)
\(n - 1 = \frac{5,6}{0,4}\)
\(n - 1 = \frac{56}{4}\)
\(n-1=14\)
\(n = 14 + 1\)
\(n=15 \in N\)
Ответ: число \(8{,}35\) является членом прогрессии.
Пояснения:
Используемые правила и формулы:
1) Формула \(n\)-го члена арифметической прогрессии:
\[a_n=a_1+(n-1)d.\]
2) Смешанное число переводится в неправильную дробь.
3) Десятичную дробь можно представить в виде обыкновенной наоборот.
Проверка принадлежности числу прогрессии.
Число является членом арифметической прогрессии тогда и только тогда, когда уравнение
\(a_1+(n-1)d=a_n\) имеет натуральное решение \(n\), то есть \(n \in N\).
№646 учебника 2014-2022 (стр. 168):
\( \begin{cases} x^2-y^2=30\\ x + y = 5 \end{cases} \)
\( \begin{cases} (x-y)(x+y)=30\\ x + y = 5 \end{cases} \)
\( \begin{cases} (x-y)\cdot5=30 \color{red}|:5 \\ x + y = 5 \end{cases} \)
\(+ \begin{cases} x-y=6 \\ x + y = 5 \end{cases} \)
\( \begin{cases} 2x=11 \color{red}|:2 \\ y = 5-x \end{cases} \)
\( \begin{cases} x=5,5 \\ y = 5-5,5 \end{cases} \)
\( \begin{cases} x=5,5 \\ y = -0,5 \end{cases} \)
Ответ: \((5,5; -0,5)\)
Пояснения:
Дано уравнение, графику которого принадлежит точка:
\( x^2 - y^2 = 30. \)
Также известно, что сумма координат данной точки равна 5, то есть мы можем записать следующее уравнение:
\[ x + y = 5. \]
Из данных уравнений составляем систему:
\( \begin{cases} x^2-y^2=30\\ x + y = 5 \end{cases} \)
Решив которую, получаем,что искомая точка имеет координаты \((5,5; -0,5).\)
Проверка:
\[ (5{,}5)^2 - (-0{,}5)^2 = 30{,}25 - 0{,}25 = 30, \]
\[ 5{,}5 + (-0{,}5) = 5. \]
Вернуться к содержанию учебника