Упражнение 641 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

Пусть стороны треугольника образуют арифметическую прогрессию:

\[a-d,\ a,\ a+d.\]

Периметр треугольника:

\[(a-d)+a+(a+d)=24\]

\[a-\cancel d+a+a+\cancel d=24\]

\(3a = 24\)

\(a = \frac{24}{3}\)

\[a=8.\]

\(8\) (см) - средняя сторона треугольника.

\(8-d\) (см) - меньшая сторона треугольника.

\(8+d\) (см) - большая сторона треугольника.

По неравенству треугольника:

\[(8-d)+8>8+d\]

\[8-d+8>8+d\]

\[-d - d>8-16\]

\(-2d > -8\)  \(/ :(-2)\)

\[d<4\]

Так как длины сторон — целые числа, то \(d\) — целое неотрицательное число:

\[d=1,\ 2,\ 3.\]

Возможные длины сторон:

При \(d=1\): \(7,\ 8,\ 9\).

При \(d=2\): \(6,\ 8,\ 10\).

При \(d=3\): \(5,\ 8,\ 11\).

Пояснения:

Используемые правила и приёмы:

1) Если три числа образуют арифметическую прогрессию, то их можно записать в виде

\(a-d,\ a,\ a+d\).

2) Периметр треугольника равен сумме длин его сторон.

3) Для существования треугольника сумма любых двух его сторон должна быть больше третьей.

\(AB=BC=CA=a\), \(BH=h\)

\(P=3a\)

\(AH=HC=\frac12a\) (т.к. в равностороннем треугольнике высота является медианой.)

По теореме Пифагора:

\(AB^2=AH^2+BH^2⇒\)

\(AH^2=AB^2-AH^2\)

\(AH=\sqrt{AB^2-AH^2}\)

Тогда:

\(h=\sqrt{a^2-\frac{1}{4}a^2}=a\sqrt{\frac44-\frac{1}{4}}=\dfrac{\sqrt3}{2}\,a\)

Так как высоты равностороннего треугольника равны, то каждая высота равностороннего треугольника со стороной \(a\) будет равна:

\(h=\dfrac{\sqrt3}{2}\,a\)

Пусть \(a_1=8\) см.

\(P_1=3a_1\).

\(P_2=3a_2=3\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}\,a_1=\)

\(=3a_1\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}=P_1\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}\)

\(P_3=3a_3=3\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}\,a_2=\)

\(=3\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}\,a_1=\)

\(=3a_1\cdot\biggl(\dfrac{\sqrt3}{2}\biggr)^2=P_1\cdot\biggl(\dfrac{\sqrt3}{2}\biggr)^2\)

\(P_4=3a_4=3\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}\,a_3=\)

\(=3\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}\,a_2=\)

\(=3\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}\,a_1=\)

\(=3a_1\cdot\biggl(\dfrac{\sqrt3}{2}\biggr)^3=P_1\cdot\biggl(\dfrac{\sqrt3}{2}\biggr)^3\)

\(\ldots\)

\(P_n=3a_n=P_1\left(\dfrac{\sqrt3}{2}\right)^{n-1}\).

То есть периметры треугольников образуют геометрическую прогрессию, \(P_n=P_1q^{n-1}\), где \(P_1=3\cdot8=24\), \(q=\dfrac{P_{n+1}}{P_n}=\dfrac{\sqrt3}{2}\). 

\(P_6=24\cdot\left(\dfrac{\sqrt3}{2}\right)^{6-1}=\)

\(=24\cdot\left(\dfrac{\sqrt3}{2}\right)^5=24\cdot\dfrac{(\sqrt3)^5}{2^5}=\)

\(=24\cdot\dfrac{9\sqrt3}{32}=\dfrac{216\sqrt3}{32}=\dfrac{27\sqrt3}{4}\ \text{см}.\)

Ответ:  \(P_6=\dfrac{27\sqrt3}{4}\ \text{см}.\)

Пояснения:

Правила и формулы, которые используются.

1) В равностороннем треугольнике высота выражается через сторону \(a\) так:

\[ h=\frac{\sqrt3}{2}\,a. \]

2) Периметр равностороннего треугольника:

\[ P=3a. \]

3) Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число \(q\), называемое знаменателем прогрессии.

Почему периметры образуют геометрическую прогрессию.

Пусть сторона первого равностороннего треугольника равна \(a_1=8\). По условию следующий треугольник строят «из высот» предыдущего, то есть его стороны равны высотам предыдущего треугольника.

Высота равностороннего треугольника со стороной \(a\) равна \(h=\dfrac{\sqrt3}{2}a\), значит:

\[ a_2=h_1=\frac{\sqrt3}{2}\,a_1,\quad a_3=h_2=\frac{\sqrt3}{2}\,a_2,\ \ldots,\ a_{n+1}=\frac{\sqrt3}{2}\,a_n. \]

То есть стороны образуют геометрическую прогрессию с знаменателем \(\dfrac{\sqrt3}{2}\).

Так как \(P_n=3a_n\), то

\[ P_{n+1}=3a_{n+1}=3\cdot\frac{\sqrt3}{2}a_n=\frac{\sqrt3}{2}\cdot 3a_n=\frac{\sqrt3}{2}\,P_n, \]

значит периметры тоже образуют геометрическую прогрессию с тем же знаменателем

\[ q=\frac{\sqrt3}{2}. \]

Нахождение периметра шестого треугольника.

Первый периметр \(P_1=3\cdot8=24\). Тогда

\[ P_6=P_1\cdot q^{5}=24\cdot\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^5=\frac{27\sqrt3}{4}\ \text{см}. \]